y=x^2,则xy的联合分布律

设$y=x^2$，则$xy=x\cdot x^2=x^3$。

我们可以画出$x$和$xy$之间的关系图形，如下所示：

    |            
   y|       *    
    |      *     
    |     *      
    |    *       
    |   *        
    |  *         
    | *          
    |*           
    -------------
     x          

我们可以看出，$xy$随着$x$的增大而增大，因此，$x$越大的点，$xy$所占的比例越大。

由此可得，当$x$越大时，$xy$的分布越倾向于$x$较大的区域，即$x$和$xy$之间存在正相关关系。

因此，我们可以得出结论：$y=x^2$时，$xy$的分布符合正相关的分布规律。

相关问题

求下列曲面围成立体的体积 z=x^2/a^2+y^2/b^2,xy=a^2,xy=2a^2,y=b^2*x,y=2b^2*x,z=0

首先，我们可以用 xy=a^2 和 xy=2a^2 两个平面将曲面分为两部分。由于问题的对称性，我们只需要考虑其中一个部分的体积，然后将其乘以 2 即可得到整个立体的体积。

接下来，我们需要找到两个相邻的曲面 z1 和 z2，使得它们之间的体积可以用标准公式 V = ∫A(z)dz 来计算。其中 A(z) 是曲面在 z 轴高度为 z 时的投影面积。注意到这个曲面是一个旋转抛物面，因此它在任意一条垂直于 z 轴的直线上的投影都是一个椭圆。而且由于 xy=a^2 和 y=b^2*x 的限制，这些椭圆的长轴和短轴都是定值，因此我们可以直接计算出任意高度下的投影面积。

具体来说，我们可以将 xy=a^2 和 y=b^2*x 分别解出 y 和 x 的表达式，得到两个函数 y=f1(x) 和 y=f2(x)。然后我们可以用椭圆的标准公式 A(z) = πab 来计算每个高度下的投影面积，其中 a 和 b 分别是椭圆的长轴和短轴。注意到这里的 a 和 b 实际上就是 f1(z/a) 和 f2(z/a)。因此我们可以得到：

A(z) = πf1(z/a)f2(z/a)

接下来，我们需要找到 z=x^2/a^2+y^2/b^2 和 z=0 这两个曲面的交线方程。注意到这两个曲面分别是一个椭圆柱面和一个平面，它们的交线是一个椭圆。我们可以将它们代入 xy=a^2 和 y=b^2*x 两个限制条件中，得到：

x^2/a^2 + (a^4/x^2)/b^2 = 1

x^2/a^2 + (a^2/(2x))^2/b^2 = 1

解出 x 后，我们可以得到两个高度，分别是 z1 = x^2/a^2+(a^4/x^2)/b^2 和 z2 = x^2/a^2+(a^2/(2x))^2/b^2。注意到这里要求 x>0，因为我们只考虑了 xy=a^2 和 y=b^2*x 这两个限制条件的一个象限。

现在我们可以计算体积了：

V = 2∫[0,a√2] A(z) dz

= 2π∫[0,a√2] f1(z/a)f2(z/a) dz

= 2π∫[a,b] f1(x)f2(x)x/√(x^2-a^2) dx

其中最后一个积分是将 z1 和 z2 的 x 表达式合并后得到的。注意到这里的积分区间是从 a 到 b，其中 b 是交线的横坐标的最大值，即 b=√(2)a。

Y=arccosy，求Z=X^2-2XY的概率密度函数

根据题意，我们需要求出Z=X^2-2XY的概率密度函数，其中Y=arccos(y)。

首先，我们考虑Y的取值范围。因为arccos(y)的取值范围是[0,π]，所以Y的取值范围也是[0,π]。

接下来，我们使用变量替换法来求Z的概率密度函数。令U=X-Y和V=X，则X=(U+V)/2，Y=(V-U)/2。由此可得：

Z = (U+V)^2/4 - 2UV/4
= U^2/4 + UV/2 + V^2/4

接下来，我们需要求出U和V的联合概率密度函数fUV(u,v)，然后根据变量替换法求出Z的概率密度函数fZ(z)。

因为U=X-Y和V=X是线性变量关系，所以它们的联合概率密度函数可以通过求解其雅可比行列式来得到：

fUV(u,v) = fXY((u+v)/2,(v-u)/2) * |J|

其中，fXY(x,y)是X和Y的概率密度函数，J是雅可比行列式，它的值为：

J = |dx/du dx/dv|
|dy/du dy/dv|
= |-1/2 1/2 |
|1/2 1/2 |

所以，

|J| = |-1/2 1/2| = 1/2

接下来，我们需要求解fXY(x,y)，它的概率密度函数为：

fXY(x,y) = fX(x) * fY(y)

其中，X和Y是独立的随机变量，且X是一个标准正态分布，Y的概率密度函数为：

fY(y) = f(arccos(y)) * |dy/dy'|

其中，f(arccos(y))是Y=arccos(y)的概率密度函数，|dy/dy'|是雅可比行列式，它的值为：

|dy/dy'| = |-sin(arccos(y))| = |-√(1-y^2)| = √(1-y^2)

因此，Y的概率密度函数为：

fY(y) = f(arccos(y)) * √(1-y^2)

将fX(x)和fY(y)代入fXY(x,y)中，可得：

fXY(x,y) = (1/2π) * e^(-x^2/2) * f(arccos(y)) * √(1-y^2)

接下来，将fXY(x,y)和|J|代入fUV(u,v)中，可得：

fUV(u,v) = (1/4π) * e^(-u^2/4-v^2/4+uv/2) * √(1-((v-u)/2)^2)

最后，我们使用变量替换法求出Z的概率密度函数fZ(z)。令z=u^2/4+uv/2+v^2/4，则：

u = √(4z-v^2) - v
v = V

J = |du/dz du/dv|
|dv/dz dv/dv|

我们可以通过计算J的逆矩阵来求出du/dz、du/dv、dv/dz和dv/dv的值。最终，我们得到：

fZ(z) = (1/2π) * ∫(从0到π) e^(-u^2/4-v^2/4+uv/2) * √(1-((v-u)/2)^2) * |J| * dv

其中，|J|的值为1/2，dv的积分范围为0到π。将u和v代入上式，可得：

fZ(z) = (1/4π) * ∫(从0到π) e^(-(u^2+2uv+v^2)/4) * √(4z-v^2) * dv

这个积分式可以通过换元法将其化简为高斯函数的形式，最终得到：

fZ(z) = (1/2π√z) * ∫(从0到π) e^(-(v^2-2z)/4) * √(4z-v^2) * dv

令t=v/√(4z)，则：

fZ(z) = (1/8πz) * ∫(从0到√(4z)/2) e^(-t^2) * √(1-t^2) * dt

这个积分式可以通过换元法将其化简为高斯函数和伽马函数的形式，最终得到：

fZ(z) = (1/8z^(3/2)) * (2-π/2*√(π) * erf(√z/2) - √(π) * e^(-z/4) * γ(3/2, z/4))

其中，erf(x)是误差函数，γ(a,x)是不完全伽马函数。因此，Z的概率密度函数为：

fZ(z) = (1/8z^(3/2)) * (2-π/2*√(π) * erf(√z/2) - √(π) * e^(-z/4) * γ(3/2, z/4))，其中z属于[0,∞)。