以邻接矩阵作为存储结构

邻接矩阵是一种常用的图的存储结构，它使用二维数组来表示图中各个节点之间的连接关系。具体来说，邻接矩阵的行和列分别表示图中的节点，矩阵中的元素表示节点之间是否存在边。如果节点i和节点j之间存在边，则邻接矩阵中第i行第j列的元素为1，否则为0。

使用邻接矩阵作为存储结构的优点是可以快速地判断两个节点之间是否有边相连。同时，邻接矩阵也非常适合存储稠密图，因为它可以用一个二维数组直接表示所有节点之间的连接关系。

但是，邻接矩阵也有一些缺点。首先，邻接矩阵需要占用大量的内存空间，特别是在存储稀疏图时。其次，如果需要遍历整个图，邻接矩阵的效率可能不如其他数据结构，比如邻接表。

相关问题

已知图以邻接矩阵作为存储结构，编写算法判断两个指定顶点之间是否存在路径。

### 回答1：
可以使用深度优先搜索或广度优先搜索算法来判断两个指定顶点之间是否存在路径。具体步骤如下：

1. 从起始顶点开始，将其标记为已访问。

2. 遍历与起始顶点相邻的顶点，如果该顶点未被访问，则将其标记为已访问，并将其加入到待访问队列中。

3. 从待访问队列中取出一个顶点，重复步骤2，直到队列为空。

4. 如果目标顶点被标记为已访问，则说明存在路径；否则不存在路径。

需要注意的是，邻接矩阵存储结构中，如果两个顶点之间存在边，则对应的矩阵元素值为1；否则为。因此，在遍历相邻顶点时，需要判断对应的矩阵元素值是否为1。

### 回答2：
判断两个指定顶点之间是否存在路径，可以采用深度优先搜索或广度优先搜索算法来实现。以下是以邻接矩阵作为存储结构的深度优先搜索算法实现过程。

深度优先搜索算法的思路是：从起点开始按一个方向走到终点，如果不能走了再退回到距起点最近的一个尚未访问过的顶点，然后继续沿着未访问过的方向走，直到所有的路径都被搜索完成。

具体实现过程如下：

1. 定义一个布尔型的visited数组，记录每个顶点的访问状态，初始时全部置为false。

2. 定义一个递归函数dfs，该函数接收两个参数：当前访问的顶点以及目标顶点，判断是否存在路径。其中，dfs函数的实现要求：

a. 如果当前访问的顶点等于目标顶点，返回true。

b. 否则遍历当前访问的顶点所对应的一行，如果存在一个未访问的顶点，递归调用dfs函数访问该顶点，如果返回true，则说明找到了路径，直接返回true。

c. 如果遍历完当前访问的顶点所对应的一行后仍然没有找到路径，则返回false。

3. 在主函数中调用dfs函数，传入起点和终点作为参数。如果dfs函数返回true，则存在路径；否则不存在路径。

注意事项：

1. 在遍历当前访问的顶点所对应的一行时，要注意跳过已经访问过的顶点，否则可能会出现回路。

2. 在数组下标越界时，应该加上判断语句，防止出现异常。

### 回答3：
题目要求我们编写一个算法来判断两个指定顶点之间是否存在路径，而图是以邻接矩阵作为存储结构的。那么我们需要考虑的就是如何利用邻接矩阵来判断路径的存在性。

首先，我们需要明确邻接矩阵的定义。邻接矩阵是一个二维矩阵，其中的每个元素表示图中两个顶点之间是否存在边。如果图中顶点i和顶点j之间存在边，则邻接矩阵中的第i行第j列和第j行第i列都应该为1，否则为0。

基于邻接矩阵的定义，我们可以考虑用深度优先搜索（DFS）来判断两个指定顶点之间是否存在路径。具体来说，我们以第一个顶点为起点，调用DFS函数进行搜索，若搜索到了第二个指定顶点，则说明这两个顶点之间存在路径，否则不存在路径。

伪代码如下：

bool hasPath(int u, int v, int adjMatrix[][], bool visited[], int n) {
    if (u == v)  // 如果起点和终点相同，则说明存在路径
        return true;
    visited[u] = true;  // 标记已经访问
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (adjMatrix[u][i] == 1 && !visited[i]) {  // 如果u和i之间存在边，并且i还没有被访问过
            if (hasPath(i, v, adjMatrix, visited, n))  // 递归搜索i到v是否存在路径
                return true;
        }
    }
    return false;  // 搜索失败
}

bool isPathExist(int u, int v, int adjMatrix[][], int n) {
    bool visited[n] = { false };  // 记录节点是否已经访问过
    return hasPath(u, v, adjMatrix, visited, n);  // 从u开始搜索v，判断是否存在路径
}

解释一下伪代码中的几个函数。isPathExist函数是我们要实现的主函数，输入指定的两个顶点u和v，以及邻接矩阵adjMatrix和节点总数n，返回两个顶点之间是否存在路径。

hasPath函数表示从节点u到节点v是否存在路径。输入参数包括起点u、终点v、邻接矩阵adjMatrix，节点总数n，以及visited数组，用来记录节点是否已经被访问过。首先判断u和v是否相同，如果相同则直接返回true，表示路径已经找到了。接着，将u标记为已经访问过，遍历从u出发可以到达的所有节点i，并检查i是否已经被访问过。如果i还没有被访问过，且u到i之间存在边，则以i为起点继续递归搜索是否存在路径。如果递归搜索返回true，则说明存在路径；否则继续遍历其他节点。如果所有节点都被遍历完了仍然没有找到路径，则返回false。

注意，在每次递归搜索之前，我们需要将起点u标记为已经访问过。这是为了防止出现环路的情况，在已经访问过的节点中继续搜索，导致死循环。

最后，需要注意的是，以上算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n是节点的个数，因为需要遍历所有的节点。如果只需要判断一次是否存在路径，时间复杂度还是可以接受的。如果需要多次查询是否存在路径，可以考虑使用其他更高效的图遍历算法，比如广度优先搜索（BFS）或Dijkstra算法等。

邻接矩阵作为存储结构创建一个无向图

以下是使用邻接矩阵作为存储结构创建一个无向图的Python代码示例：

class Graph:
    def __init__(self, vertices):
        self.V = vertices
        self.graph = [[0] * self.V for _ in range(self.V)]

    def add_edge(self, u, v):
        self.graph[u][v] = 1
        self.graph[v][u] = 1

    def print_graph(self):
        for i in range(self.V):
            for j in range(self.V):
                print(self.graph[i][j], end=' ')
            print()

g = Graph(5)
g.add_edge(0, 1)
g.add_edge(0, 4)
g.add_edge(1, 2)
g.add_edge(1, 3)
g.add_edge(1, 4)
g.add_edge(2, 3)
g.add_edge(3, 4)

g.print_graph()

在这个例子中，我们首先定义了一个Graph类，它包含一个构造函数和两个方法。构造函数初始化了一个大小为V x V的邻接矩阵，其中V是图的顶点数。add_edge()方法用于将两个顶点之间的边添加到邻接矩阵中。print_graph()方法用于打印邻接矩阵。

在这个例子中，我们创建了一个大小为5的图，并添加了7条边。最后，我们打印了邻接矩阵。