svd求解旋转平移矩阵的matlab代码

在MATLAB中，SVD（奇异值分解）通常用于解决低秩近似问题，包括估计旋转和平移矩阵。当处理图像配准等应用时，旋转和平移矩阵可以表示为两个较小的旋转矩阵和一个平移向量的组合。以下是一个简单的例子，展示如何使用SVD来恢复这样的矩阵：

% 假设我们有两幅图像的对应点对（x,y），构成一个3xn矩阵X
X = ... % 输入对应点集

% 对应于旋转和平移的矩阵是H，它包含旋转部分R和平移部分t
H = ... % 或者假设H已经经过某种形式的归一化（如先做PCA）

% SVD分解
[U, S, V] = svd(X);

% 提取旋转和位移信息
R = U(:,1:2); % 旋转矩阵，一般选择前两个左奇异向量
t = mean(V(3,:), 'all'); % 平移向量，等于所有第三列元素的均值

% 如果需要，可以进一步调整旋转矩阵使其接近正交（对于旋转，这通常是合理的）
R = orth(R);

% 重构变换矩阵H
H_hat = [R, t; zeros(1, size(X,2))]; % 添加平移行到重构矩阵

% 现在你可以使用H_hat进行图像配准或其他相应的操作

注意，这个过程假设输入数据X可以被近似为由旋转和平移产生的，而且H进行了适当的归一化。实际应用中可能需要更复杂的步骤来处理噪声和不确定性。

相关问题

利用svd求解矩阵伪逆的matlab代码

可以使用Matlab自带的`pinv`函数来计算矩阵的伪逆。如果你想手动计算伪逆，可以使用SVD分解的方法来实现。下面是用SVD分解求解矩阵的伪逆的Matlab代码：

假设有一个矩阵A，可以使用以下代码计算A的伪逆：

A = [2 1 1; 1 -1 0];
[U,S,V] = svd(A);
tol = max(size(A)) * eps(max(diag(S)));
r = rank(A);
S = diag(1./diag(S));
S(r+1:end,:) = 0;
A_pinv = V * S * U';

其中，`U`、`S`、`V`是矩阵A的SVD分解结果，`tol`是一个容差值，`r`是矩阵A的秩，`S`是对角线元素为A的奇异值的倒数的矩阵，`A_pinv`是矩阵A的伪逆。

如果想验证计算的结果是否正确，可以使用`pinv`函数计算矩阵的伪逆，然后与手动计算的结果进行比较，代码如下：

A_pinv_check = pinv(A);
disp(norm(A_pinv - A_pinv_check));

如果输出结果为0，则说明手动计算的伪逆结果与`pinv`函数计算的结果相同。

双边Jacobi方法求解任意矩阵的SVD的Matlab代码

以下是使用双边Jacobi方法求解任意矩阵的SVD的Matlab代码：

function [U,S,V] = bidiagonal_svd(A)
% Bidiagonal SVD using Jacobi method
% A: input matrix
% U: left singular vectors
% S: singular values
% V: right singular vectors

[m,n] = size(A);
U = eye(m);
V = eye(n);

% Bidiagonalization using Householder reflection
for k = 1:n
    x = A(k:m,k);
    [v,beta] = house(x);
    A(k:m,k:n) = A(k:m,k:n) - beta*v*(v'*A(k:m,k:n));
    U(k:m,:) = U(k:m,:) - beta*v*(v'*U(k:m,:));
    if k < n
        x = A(k,k+1:n)';
        [v,beta] = house(x);
        A(k:m,k+1:n) = A(k:m,k+1:n) - beta*(A(k:m,k+1:n)*v)*v';
        V(k:n,:) = V(k:n,:) - beta*(V(k:n,:)*v)*v';
    end
end

% Singular value decomposition using Jacobi method
tol = 1e-12;
maxiter = 1000;
for iter = 1:maxiter
    % Diagonal pivoting
    for k = n:-1:2
        [c,s] = givens(A(k-1,k-1),A(k,k-1));
        A([k-1,k],:) = [c -s; s c]*A([k-1,k],:);
        V(:,[k-1,k]) = V(:,[k-1,k])*[c -s; s c]';
    end
    for k = 1:n-1
        [c,s] = givens(A(k,k),A(k,k+1));
        A(:,[k,k+1]) = A(:,[k,k+1])*[c -s; s c];
        U(:,[k,k+1]) = U(:,[k,k+1])*[c -s; s c]';
    end
    % Check convergence
    if norm(A(n,:)) < tol
        break;
    end
end

S = diag(A);
end

function [v,beta] = house(x)
% Householder reflection
% x: input vector
% v: Householder vector
% beta: scaling factor

n = length(x);
sigma = x(2:n)'*x(2:n);
v = [1; x(2:n)];
if sigma == 0 && x(1) >= 0
    beta = 0;
else
    if x(1) >= 0
        v(1) = -v(1);
    end
    beta = 2/(sigma + v(1)^2);
    v = v/sqrt(sigma + v(1)^2);
end
end

function [c,s] = givens(a,b)
% Givens rotation
% a,b: input scalars
% c,s: Givens parameters

if b == 0
    c = sign(a);
    s = 0;
elseif abs(b) > abs(a)
    tau = -a/b;
    s = 1/sqrt(1 + tau^2);
    c = s*tau;
else
    tau = -b/a;
    c = 1/sqrt(1 + tau^2);
    s = c*tau;
end
end

该代码使用了Householder反射实现矩阵的双边三角化，然后使用Givens旋转实现奇异值分解。可以通过调用`bidiagonal_svd`函数来求解任意矩阵的SVD。