matlab 求f(t)=A*exp(-a*abs(t)),a>0的Fourier变换

根据傅里叶变换的定义，$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t}dt$。对于$f(t)=A\exp(-a|t|)$，我们需要将其拆分成两个部分，即$t\geq 0$和$t<0$的情况。

当$t\geq 0$时，$f(t)=A\exp(-at)$，则有：
$$
\begin{aligned}
F(\omega)&=\int_{0}^{\infty}A\exp(-at)e^{-i\omega t}dt\\
&=A\int_{0}^{\infty}\exp[-(a+i\omega)t]dt\\
&=A\left[\frac{1}{a+i\omega}\exp[-(a+i\omega)t]\right]_{0}^{\infty}\\
&=\frac{A}{a+i\omega}
\end{aligned}
$$

当$t<0$时，$f(t)=A\exp(at)$，则有：
$$
\begin{aligned}
F(\omega)&=\int_{-\infty}^{0}A\exp(at)e^{-i\omega t}dt\\
&=A\int_{-\infty}^{0}\exp[(a-i\omega)t]dt\\
&=A\left[\frac{1}{a-i\omega}\exp[(a-i\omega)t]\right]_{-\infty}^{0}\\
&=\frac{A}{a-i\omega}
\end{aligned}
$$

因此，将两部分的傅里叶变换相加，得到$f(t)$的傅里叶变换为：
$$
F(\omega)=\frac{2Aa}{a^2+\omega^2}
$$