举例说明UserCF改进的余弦相似度

UserCF是一种基于用户的协同过滤推荐算法，其中一个重要的步骤是计算用户之间的相似度。传统的UserCF算法使用余弦相似度来度量用户之间的相似度。但是，余弦相似度有一些缺点，例如对用户评分偏差敏感，对评分量少的用户不敏感等。

为了改进余弦相似度，可以使用加权余弦相似度。加权余弦相似度考虑了用户的评分差异，对于相同的评分，其权重为1，对于评分差异较大的物品，其权重较低。具体地，对于两个用户 $u$ 和 $v$ ，其加权余弦相似度可以定义为：

$$
w_{u,v} = \frac{\sum_{i \in I_{u} \cap I_{v}} (r_{u,i} - \bar{r_u})(r_{v,i} - \bar{r_v})}{\sqrt{\sum_{i \in I_{u} \cap I_{v}}(r_{u,i} - \bar{r_u})^2} \sqrt{\sum_{i \in I_{u} \cap I_{v}}(r_{v,i} - \bar{r_v})^2}}
$$

其中，$I_{u}$ 表示用户 $u$ 评分过的物品集合，$r_{u,i}$ 表示用户 $u$ 对物品 $i$ 的评分，$\bar{r_u}$ 表示用户 $u$ 的评分平均值。

在上式中，$(r_{u,i} - \bar{r_u})$ 表示用户 $u$ 对物品 $i$ 的评分偏差，$(r_{v,i} - \bar{r_v})$ 表示用户 $v$ 对物品 $i$ 的评分偏差。这里偏差越大的物品，其权重越小，因此加权余弦相似度可以减少用户评分偏差对相似度计算的影响。