二叉树在等概率下查找成功和不成功情况下的平均查找长度怎么求

假设二叉树中共有 $n$ 个节点（包括根节点），其中 $m$ 个叶子节点存储了关键字，且每个叶子节点的深度为 $d_1, d_2,...,d_m$。查找成功概率为 $p$，不成功概率为 $q=1-p$。

在二叉树中查找一个关键字的平均查找长度（Average Search Length，ASL）可以表示为：

$$
ASL = \frac{\text{查找成功时的路径长度}}{\text{查找成功的概率}} + \frac{\text{查找不成功时的路径长度}}{\text{查找不成功的概率}}
$$

查找成功时的路径长度为叶子节点深度的加权平均值，即：

$$
\frac{1}{p}\sum_{i=1}^m p\times d_i = \sum_{i=1}^m d_i
$$

查找不成功时的路径长度为树的高度 $h$，即：

$$
\frac{1}{q}(h+1) = \frac{1}{1-p}(h+1)
$$

因此，二叉树在等概率下查找成功和不成功情况下的平均查找长度为：

$$
ASL = p\sum_{i=1}^m d_i + (1-p)(h+1)
$$

其中，$h$ 可以通过遍历整棵树来求出，时间复杂度为 $O(n)$。

相关问题

二叉树的平均查找长度

二叉树的平均查找长度是指在一棵二叉排序树中，对于任意一个节点，从根节点开始查找该节点的平均路径长度。平均查找长度可以通过查找成功和查找失败两种情况来计算。

对于查找成功的情况，即要查找的节点存在于二叉树中，平均查找长度等于该节点所在层数加1。因为在二叉排序树中，每一层的节点都是按照一定的顺序排列的，所以查找成功的平均查找长度可以通过节点所在层数来计算。

对于查找失败的情况，即要查找的节点不存在于二叉树中，平均查找长度等于查找路径的长度加1。查找路径的长度是指从根节点开始查找到叶子节点的路径长度。

综合考虑查找成功和查找失败的情况，二叉树的平均查找长度可以通过以下公式计算：

平均查找长度 = (查找成功的平均查找长度 * 查找成功的概率) + (查找失败的平均查找长度 * 查找失败的概率)

其中，查找成功的概率等于节点在二叉树中出现的频率，查找失败的概率等于节点不在二叉树中出现的频率。

已知由（40,30,20,56,78,15,45）序列构成的二叉排序树，等概率下查找成功时的平均查找长度为（）

二叉排序树（Binary Search Tree）是一种二叉树，其中每个节点的值都大于其左子树中任意节点的值，小于其右子树中任意节点的值。因此，在二叉排序树中查找某个元素时，可以通过比较根节点的值和目标值的大小来决定向左子树还是右子树搜索，从而缩小搜索范围，提高查找效率。

对于给定的二叉排序树，等概率下查找成功时的平均查找长度可以通过以下公式计算：

$$
ASL = \frac{\sum_{i=1}^n d_i}{n}
$$

其中，$n$ 是二叉排序树中节点的总数，$d_i$ 是查找第 $i$ 个节点时经过的节点数。

对于给定的二叉排序树，其中节点数为 7，可以通过以下步骤来计算平均查找长度：

1. 查找节点 40，经过节点 1 个，d1 = 1。
2. 查找节点 30，经过节点 2 个，d2 = 2。
3. 查找节点 20，经过节点 3 个，d3 = 3。
4. 查找节点 56，经过节点 2 个，d4 = 2。
5. 查找节点 78，经过节点 3 个，d5 = 3。
6. 查找节点 15，经过节点 4 个，d6 = 4。
7. 查找节点 45，经过节点 3 个，d7 = 3。

因此，平均查找长度为：

$$
ASL = \frac{1+2+3+2+3+4+3}{7} = \frac{18}{7} \approx 2.57
$$

因此，在等概率下查找成功时，平均需要经过约 2.57 个节点。