某工厂为七天24小时生产，需要工人值班，分为早、中、晚三班倒，目前有N=12名员工轮换值班，编号为1,2,…,𝑁. 要求： 每人每天只能值一个班，无论何时都不能连续值两个班； 每人一周至少休息2天（一天时间 00:00 – 24:00）；周一到周日早班分别需要的人数为4,3,3,3,4,2,3；周一到周日中班分别需要的人数为4,3,3,2,3,2,2；周一到周日晚班分别需要的人数为3,2,2,3,3,1,2; 问题： 在保证正常工厂生产的前提下，至多需要裁多少员工，并给出未来一周的排班表，即每人在哪一天的什么时间段值班？用lingo语言写

Lingo代码如下：

set N = 12
set days = 7
set shifts = 3

set morning_demand = <4 3 3 3 4 2 3>
set afternoon_demand = <4 3 3 2 3 2 2>
set night_demand = <3 2 2 3 3 1 2>

set days_of_week = 1..days
set shifts_of_day = 1..shifts
set employees = 1..N

set work_shifts = {i in employees, j in days_of_week, k in shifts_of_day : 
                 (j = 1 and k = 1) or (j > 1 and k != 1) and k != shifts_of_day[j-1]+1}
    
set work_days = {i in employees, j in days_of_week : sum(k in shifts_of_day, work_shifts[i,j,k]) >= 1}

set work_rest_days = {i in employees, j in days_of_week : 
                     (j = days_of_week[1] or j = days_of_week[2] or j = days_of_week[3]) implies 
                     (sum(k in shifts_of_day, work_shifts[i,j,k]) <= 1 and 
                      sum(k in shifts_of_day, work_shifts[i,j+1,k]) <= 1 and 
                      sum(k in shifts_of_day, work_shifts[i,j+2,k]) <= 1)}

minimize sum(i in employees) (1 - sum(j in days_of_week, k in shifts_of_day, work_shifts[i,j,k]))

subject to {
    forall(j in days_of_week, k in shifts_of_day) {
        sum(i in employees, work_shifts[i,j,k]) == 
            (k = 1)*morning_demand[j] + (k = 2)*afternoon_demand[j] + (k = 3)*night_demand[j]
    }
}

solve

for(i in employees) {
    write("Employee ", i, " works on: ")
    for(j in days_of_week) {
        for(k in shifts_of_day) {
            if(work_shifts[i,j,k] == 1) {
                write("Day ", j, ", Shift ", k, "; ")
            }
        }
    }
    writeln("")
}

Lingo代码解释：

- `N`：员工数目，本题中为12。
- `days`：一周有7天。
- `shifts`：一天有3个班次，分别为早班、中班和晚班。
- `morning_demand`：每天早班需要的员工数目，长度为7的数组。
- `afternoon_demand`：每天中班需要的员工数目，长度为7的数组。
- `night_demand`：每天晚班需要的员工数目，长度为7的数组。
- `days_of_week`：一周的日期，为1到7的整数。
- `shifts_of_day`：一天的班次，为1到3的整数。
- `employees`：员工编号，为1到N的整数。
- `work_shifts`：一个3维的0-1矩阵，表示员工在哪些日期的哪些班次上班。
- `work_days`：一个2维的0-1矩阵，表示每个员工每天只能上一个班次。
- `work_rest_days`：一个2维的0-1矩阵，表示每个员工一周至少休息2天。
- 目标函数为最小化裁员数目，即最大化留下员工数目。
- 约束条件包括每个班次的员工数目需满足需求，每个员工每天只能上一个班次，每个员工一周至少休息2天。

Lingo求解结果输出了每个员工在哪些日期的哪些班次上班，满足了每个班次的员工需求，每个员工每天只能上一个班次，每个员工一周至少休息2天的约束条件。