某工厂为七天24小时生产，需要工人值班，分为早、中、晚三班倒，目前有12名员工轮换值班，编号为1、2、、N要求： 1)每人每天只能值一个班，无论何时都不能连续值两个班； 2)每人一周至少休息2天（一天时间 00:00 – 24:00）； 3)每天每个班次满足所需人数，见表1所示. 问题： 在保证正常工厂生产的前提下，至多需要裁掉多少员工，并给出未来一周的排班表，即每人在哪一天的什么时间段值班？使用Java代码来解决这个整数规划问题，把代码写出来

这个问题可以建模为整数规划问题。我们可以使用0/1变量$x_{i,j,k}$表示员工$i$在第$j$天的第$k$个班次是否值班，即：

$$
x_{i,j,k} = \begin{cases}
1 & \text{员工$i$在第$j$天的第$k$个班次值班}\\
0 & \text{否则}
\end{cases}
$$

同时，我们需要使用另外一个0/1变量$y_i$表示员工$i$是否被裁掉，即：

$$
y_i = \begin{cases}
1 & \text{员工$i$被裁掉}\\
0 & \text{否则}
\end{cases}
$$

那么我们需要最小化被裁掉的员工数，即：

$$
\text{minimize} \sum_{i=1}^N y_i
$$

同时，需要满足以下约束条件：

1. 每人每天只能值一个班：

$$
\sum_{k=1}^3 x_{i,j,k} = 1, \ \forall i,j
$$

2. 无论何时都不能连续值两个班：

$$
x_{i,j,3} + x_{i,j+1,1} \leq 1, \ \forall i,j \leq 6
$$

3. 每人一周至少休息2天：

$$
\sum_{j=1}^7 \sum_{k=1}^3 x_{i,j,k} \leq 5, \ \forall i
$$

4. 每天每个班次满足所需人数：

$$
\sum_{i=1}^N x_{i,j,k} = p_{j,k}, \ \forall j,k
$$

5. $y_i$为0/1变量：

$$
y_i \in \{0,1\}, \ \forall i
$$

因为这是一个整数规划问题，我们可以使用Java中的整数规划库来求解。以下是Java代码实现：

import org.apache.commons.math3.optim.linear.*;
import org.apache.commons.math3.optim.*;
import org.apache.commons.math3.linear.*;

public class ShiftScheduling {

    public static void main(String[] args) {
        // 班次人数需求
        int[][] p = {{2, 3, 2}, {2, 3, 2}, {2, 2, 3}, {2, 2, 3}, {3, 2, 2}, {3, 2, 2}, {3, 3, 2}};
        int n = 12; // 员工数量
        int d = 7; // 天数
        int t = 3; // 班次数量

        // 创建线性规划问题
        LinearObjectiveFunction obj = new LinearObjectiveFunction(new double[n], 0);
        ArrayList<LinearConstraint> constraints = new ArrayList<>();

        // 添加约束条件
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < d; j++) {
                constraints.add(new LinearConstraint(createOneHotVector(i, j, t), Relationship.EQ, 1));
            }
            constraints.add(new LinearConstraint(createZeroOneVector(i, d * t), Relationship.LEQ, 5));
        }
        for (int j = 0; j < d; j++) {
            for (int k = 0; k < t; k++) {
                constraints.add(new LinearConstraint(createCountVector(j, k, n), Relationship.EQ, p[j][k]));
            }
        }
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < d - 1; j++) {
                constraints.add(new LinearConstraint(createTwoConsecutiveVector(i, j, t), Relationship.LEQ, 1));
            }
        }

        // 添加0/1变量
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            obj.setCoefficient(i, 1);
            constraints.add(new LinearConstraint(createZeroOneVector(i, d * t), Relationship.EQ, 1));
        }

        // 创建整数规划问题
        LinearConstraintSet constraintSet = new LinearConstraintSet(constraints);
        IntegerVariable[] vars = new IntegerVariable[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            vars[i] = new IntegerVariable(0, 1);
        }
        IntegerLinearObjectiveFunction integerObj = new IntegerLinearObjectiveFunction(obj.getCoefficients().toArray(), 0, obj.getGoalType());
        IntegerLinearConstraintSet integerConstraints = constraintSet.toIntegerLinearConstraintSet(Precision.EPSILON, vars);

        // 求解整数规划问题
        IntegerSolver solver = new BranchAndBoundSolver();
        PointValuePair solution = solver.solve(integerObj, integerConstraints);

        // 输出结果
        int[][][] x = new int[n][d][t];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < d; j++) {
                for (int k = 0; k < t; k++) {
                    x[i][j][k] = (int) solution.getPoint()[i * d * t + j * t + k];
                }
            }
        }
        int numFired = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (solution.getPoint()[i] == 1) {
                numFired++;
            }
        }
        System.out.println("最少裁掉" + numFired + "个员工。");
        System.out.println("排班表：");
        for (int j = 0; j < d; j++) {
            System.out.println("第" + (j + 1) + "天：");
            for (int k = 0; k < t; k++) {
                System.out.print("第" + (k + 1) + "个班次：");
                for (int i = 0; i < n; i++) {
                    if (x[i][j][k] == 1) {
                        System.out.print("员工" + (i + 1) + " ");
                    }
                }
                System.out.println();
            }
        }
    }

    // 创建一个01向量，表示员工i在第j天的第k个班次是否值班
    private static double[] createOneHotVector(int i, int j, int t) {
        double[] vec = new double[t * 7];
        int idx = i * t * 7 + j * t;
        for (int k = 0; k < t; k++) {
            vec[idx + k] = 1;
        }
        return vec;
    }

    // 创建一个01向量，表示员工i的排班情况
    private static double[] createZeroOneVector(int i, int N) {
        double[] vec = new double[N];
        for (int j = 0; j < N; j++) {
            vec[j] = (j / 3 == i) ? 1 : 0;
        }
        return vec;
    }

    // 创建一个向量，表示第j天第k个班次需要的员工数量
    private static double[] createCountVector(int j, int k, int N) {
        double[] vec = new double[N * 3];
        int idx = j * 3 + k;
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            vec[i * 3 + k] = 1;
        }
        return vec;
    }

    // 创建一个01向量，表示员工i在第j天和第j+1天是否连续工作
    private static double[] createTwoConsecutiveVector(int i, int j, int t) {
        double[] vec = new double[t * 7];
        if (j < 6) {
            int idx1 = i * t * 7 + j * t + 2;
            int idx2 = i * t * 7 + (j + 1) * t;
            vec[idx1] = 1;
            vec[idx2] = 1;
        }
        return vec;
    }
}