用eigen库实现高效的正定矩阵求逆

Eigen是一个开源的C++模板库，主要用于线性代数计算。其实现了完整的矩阵和向量的运算，包括基本的线性代数运算、矩阵分解、矩阵求逆等。在Eigen中，可以使用Cholesky分解来求正定矩阵的逆矩阵，这种方法的时间复杂度为$O(n^3)$，但是在实际应用中，由于Cholesky分解的计算量比LU分解小，因此它的效率更高。

以下是使用Eigen库实现高效的正定矩阵求逆的示例代码：

#include <iostream>
#include <Eigen/Dense>

using namespace Eigen;
using namespace std;

int main()
{
    //定义一个3*3的正定矩阵
    Matrix3d A;
    A << 1, 2, 3,
         2, 5, 7,
         3, 7, 13;
    cout << "A = \n" << A << endl;

    //使用Cholesky分解求逆矩阵
    Matrix3d A_inv = A.llt().solve(Matrix3d::Identity());
    cout << "A_inv = \n" << A_inv << endl;

    return 0;
}

在上述代码中，我们首先定义了一个3*3的正定矩阵A，并使用Cholesky分解求出了其逆矩阵A_inv，最后输出了A和A_inv的值。可以看到，使用Eigen库可以非常方便地实现高效的正定矩阵求逆操作。