圆排列问题分支限界法

圆排列问题可以采用分支限界法来求解。具体来说，可以采用深度优先搜索的方式，每一层搜索对应放置一个圆的决策，每个节点记录当前已经放置的圆和剩余空间，每次搜索时，优先考虑放置半径较大的圆，对于每个放置方案，计算当前圆排列的总长度，作为上界返回。当搜索到叶子节点时，记录当前的最优解，如果当前节点的上界小于最优解，则剪枝。此外，可以使用启发式函数对上界进行估计，以加速搜索。

下面是一个简单的 Matlab 代码实现：

function [opt_path, opt_val] = branch_bound_circle_arrangement(R)
% R：待排列的圆的半径，大小为 n×1 的向量
% opt_path：最优排列方案，大小为 n×1 的向量，表示每个圆的编号
% opt_val：最小圆排列距离

n = length(R);
path = zeros(n, 1); % 当前节点的决策向量
opt_path = []; % 最优排列方案
opt_val = inf; % 最小圆排列距离
queue = struct('path', path, 'val', 0, 'space', 1); % 优先队列
queue = [queue, queue, queue, queue, queue]; % 初始化队列
head = 1; % 队列

相关问题

圆排列的分支限界法的matlab

以下是一个使用分支限界法求解圆排列问题的 MATLAB 代码：

% 圆排列问题的分支限界法求解

% 输入参数：n，圆的数量
% 输出参数：x，最优圆的排列顺序
%           f，最优的圆排列长度

function [x, f] = circle_arrangement(n)
    % 初始化根节点
    root.x = [];
    root.l = 0;
    root.u = inf;
    root.f = 0;
    root.bound = 0;
    queue = root;
    
    % 进行分支限界搜索
    while ~isempty(queue)
        % 取出队列中的第一个节点
        node = queue(1);
        queue = queue(2:end);
        
        % 如果节点的上界小于当前最优解，则不用再进行搜索
        if node.u <= f
            continue;
        end
        
        % 如果节点是叶子节点，则更新当前最优解
        if length(node.x) == n
            f = node.f;
            x = node.x;
            continue;
        end
        
        % 对当前节点进行分支
        for i = 1:n
            if ~ismember(i, node.x)
                child.x = [node.x, i];
                child.l = node.l + distance(n, child.x(end-1), child.x(end));
                child.f = child.l + heuristic(n, child.x);
                child.u = inf;
                child.bound = child.f;
                
                % 计算子节点的上界
                if length(child.x) < n
                    child.u = child.l + heuristic(n, child.x(end:-1:1));
                else
                    child.u = child.l;
                end
                
                % 如果子节点的上界大于当前最优解，则加入队列中
                if child.u < f
                    queue = [queue, child];
                end
            end
        end
        
        % 根据子节点的上界对队列进行排序
        [~, idx] = sort([queue.bound]);
        queue = queue(idx);
    end
end

% 计算第 i 个圆和第 j 个圆之间的距离
function d = distance(n, i, j)
    d = min(mod(i-j, n), mod(j-i, n));
end

% 计算当前排列的启发式函数值
function h = heuristic(n, x)
    h = 0;
    for i = 1:n
        h = h + distance(n, x(mod(i-2, n)+1), x(mod(i, n)+1));
    end
end

使用方法：

1. 将上述代码保存为一个名为 `circle_arrangement.m` 的文件；
2. 在 MATLAB 命令窗口中输入 `n = 5; [x, f] = circle_arrangement(n);`，其中 `n` 是圆的数量，可以根据需要进行修改；
3. 程序会返回最优的圆排列顺序 `x` 和最优的圆排列长度 `f`。

注意：由于圆排列问题是 NP 难问题，当圆的数量较大时，分支限界法的运行时间会非常长，甚至可能无法求解。

圆排列的分支限界法中初始节点的上界函数matlab怎么写

圆排列问题的分支限界法中，初始节点的上界可以使用贪心算法来计算，具体步骤如下：

1. 按照圆的半径从大到小排序；
2. 依次将每个圆放置在最靠左且不与之前放置的圆重叠的位置上；
3. 计算当前圆排列的总长度，作为上界返回。

下面是一个简单的 Matlab 代码实现：

function ub = initial_ub(r)
% r：圆的半径，大小为 n×1 的向量
% ub：初始节点的上界

n = length(r);
[~, idx] = sort(r, 'descend');
pos = zeros(n, 1);
pos(idx(1)) = r(idx(1));

for i = 2:n
    curr_r = r(idx(i));
    for j = 1:i-1
        if pos(idx(j)) + 2*r(idx(j)) <= pos(idx(i-1)) + 2*r(idx(i-1))
            curr_pos = pos(idx(j)) + 2*r(idx(j));
        else
            curr_pos = pos(idx(i-1)) + 2*r(idx(i-1));
        end
        if curr_pos + curr_r <= 1
            pos(idx(i)) = curr_pos;
            break
        end
    end
end

ub = pos(idx(end)) + r(idx(end));
end

注：该代码仅供参考，实际使用时需要根据具体情况进行修改。