编写 分支限界法的圆排列问题的matlab程序

圆排列问题是一个经典的排列问题，其分支限界法的实现步骤如下：

Step 1：定义节点类，包括节点的状态（即当前排列情况）、已使用的圆的数量、圆的总数、圆的半径、圆心坐标、当前排列的周长和下一个可选择的圆的编号等信息。

Step 2：定义状态扩展函数，即从当前状态扩展出所有可能的下一步状态，对于每个可能的下一步状态，计算其剩余圆的数量和周长，并更新节点信息。如果当前状态已经排列了所有的圆，即所有圆都已经使用，那么将该节点作为一个解保存下来。

Step 3：定义优先队列，用以存储所有待扩展的节点，按照节点的下一个可选择的圆的编号升序排列，这样可以保证每次扩展的节点都是按照圆的编号从小到大排列的。

Step 4：定义主函数，从根节点开始，不断从优先队列中取出一个节点进行扩展，直到队列为空或找到一个解为止。

根据以上步骤，可以编写如下的MATLAB程序实现圆排列问题的分支限界算法：

classdef Node
    % 定义节点类
    properties
        state % 当前状态，即排列情况
        used % 已使用的圆的数量
        total % 圆的总数
        radius % 圆的半径
        center % 圆心坐标
        length % 当前排列的周长
        next % 下一个可选择的圆的编号
    end
    methods
        function obj = Node(state, used, total, radius, center, length, next)
            % 构造函数
            obj.state = state;
            obj.used = used;
            obj.total = total;
            obj.radius = radius;
            obj.center = center;
            obj.length = length;
            obj.next = next;
        end
    end
end

function children = expand(node)
    % 状态扩展函数
    children = [];
    for i = 1:node.total
        if ~ismember(i, node.state)
            % 如果i圆没有被使用，则扩展出一个新状态
            newState = [node.state i];
            newUsed = node.used + 1;
            newLength = node.length;
            if newUsed > 1
                % 如果已经使用了至少两个圆，则需要计算新状态的周长
                lastCenter = node.center(node.state(newUsed-1), :);
                thisCenter = node.center(i, :);
                newLength = node.length + 2 * sqrt((thisCenter(1)-lastCenter(1))^2 + (thisCenter(2)-lastCenter(2))^2);
            end
            % 计算剩余圆的数量
            remain = node.total - newUsed;
            % 如果剩余圆的数量为0，则说明当前状态是一个解
            if remain == 0
                children = [children Node(newState, newUsed, node.total, node.radius, node.center, newLength, i+1)];
            else
                % 否则，将新状态加入到队列中
                children = [children Node(newState, newUsed, node.total, node.radius, node.center, newLength, i+1)];
            end
        end
    end
end

function [result, length] = circle_permutation(n, r)
    % 圆排列问题分支限界算法主函数
    state = [];
    used = 0;
    center = zeros(n, 2);
    for i = 1:n
        % 计算每个圆的圆心坐标
        theta = 2 * pi * (i-1) / n;
        center(i,:) = [r*cos(theta), r*sin(theta)];
    end
    node = Node(state, used, n, r, center, 0, 1);
    queue = PriorityQueue();
    queue.push(node, 0);
    result = [];
    length = 0;
    while ~queue.isempty()
        node = queue.pop();
        children = expand(node);
        for i = 1:length(children)
            % 将所有扩展出的节点加入优先队列
            queue.push(children(i), children(i).length);
            if children(i).used == n
                % 如果当前状态是一个解，则保存下来
                result = [result; children(i).state];
                length = [length; children(i).length];
            end
        end
    end
end

在上述程序中，使用了MATLAB中的优先队列类PriorityQueue，需要先下载并导入该类才能运行上述程序。