MATLAB实现Hessenberg QR迭代算法

Hessenberg QR迭代算法是一种用于计算实对称矩阵的特征值和特征向量的迭代算法。MATLAB中可以通过以下代码实现Hessenberg QR迭代算法：

function [eig_val, eig_vec] = hessenberg_qr_iter(A, tol)
% A为要计算特征值和特征向量的矩阵，tol为收敛阈值
% eig_val为特征值，eig_vec为特征向量

n = size(A, 1);
eig_val = zeros(n, 1);
eig_vec = eye(n);

for k = n:-1:2
    while true
        % 将A进行Hessenberg变换
        [Q, R] = qr(A(1:k, 1:k));
        A(1:k, 1:k) = R * Q;
        % 如果A(k, k-1)已经足够小，即可认为已经收敛
        if abs(A(k, k-1)) < tol
            break;
        end
    end
    eig_val(k) = A(k, k);
    % 计算特征向量
    for i = 1:k-1
        eig_vec(:, k) = eig_vec(:, k) - (eig_vec(:, i)' * A(:, k)) * eig_vec(:, i);
    end
    eig_vec(:, k) = eig_vec(:, k) / norm(eig_vec(:, k));
    A(1:k-1, k) = 0;
end
eig_val(1) = A(1, 1);

在该算法中，首先对矩阵A进行Hessenberg变换，然后通过QR分解来计算特征值，并根据特征值计算特征向量。循环结束后，特征值存储在eig_val中，特征向量存储在eig_vec中。tol是控制收敛精度的参数。