在C语言中，分别用如下三种算法完成P(x)=1+x+2x2+…+7x2在x=1计算编 码和验证： 1、计算一项累加一项； 2、高乘幂继承低乘幂； 3、秦九韶算法。

在C语言中，我们可以使用三种不同的算法来计算多项式 \( P(x) = 1 + x + 2x^2 + \ldots + 7x^2 \) 当 \( x = 1 \) 的值：

1. **逐项累加** (Iterative Approach):

#include <stdio.h>

double calculate_poly_sum(int coefficients[], int degree) {
    double result = 0;
    for (int i = 0; i <= degree; i++) {
        result += coefficients[i] * pow(1, i);
    }
    return result;
}

int main() {
    int coefficients[] = {1, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 7}; // x^0 to x^2
    int degree = sizeof(coefficients) / sizeof(coefficients[0]) - 1;

    double value_at_x1 = calculate_poly_sum(coefficients, degree);
    printf("P(1) = %.2lf\n", value_at_x1);
    return 0;
}

在这个例子中，我们直接遍历系数数组，并将每个对应的 \( x^n \) 乘以 \( x=1 \)，然后累加得到结果。

2. **递归高乘幂** (Recursive Approach with Power Function):

#include <stdio.h>
double power(int base, int exponent) {
    if (exponent == 0)
        return 1;
    else if (exponent % 2 == 0)
        return power(base, exponent / 2) * power(base, exponent / 2);
    else
        return base * power(base, exponent / 2) * power(base, exponent / 2);
}

double recursive_poly_sum(int coefficients[], int degree, int index) {
    if (index == degree)
        return coefficients[index];
    else
        return coefficients[index] + recursive_poly_sum(coefficients, degree, index + 1) * power(1, index + 1);
}

int main() {
    int coefficients[] = {1, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 7};
    int degree = sizeof(coefficients) / sizeof(coefficients[0]);

    double value_at_x1 = recursive_poly_sum(coefficients, degree, 0);
    printf("P(1) = %.2lf\n", value_at_x1);
    return 0;
}

这个方法通过递归地计算每一项 \( x^n \) 并相加来实现。

3. **秦九韶算法** (Chu-Shu Theorem or Horner's Method):

#include <stdio.h>

double horner(const int *coeffs, int n, int x) {
    double result = 0;
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        result = result * x + coeffs[i];
    }
    return result;
}

int main() {
    int coefficients[] = {1, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 7};
    int degree = sizeof(coefficients) / sizeof(coefficients[0]);

    double value_at_x1 = horner(coefficients, degree, 1);
    printf("P(1) = %.2lf\n", value_at_x1);
    return 0;
}

秦九韶算法也称为霍纳法，它通过一次性计算多项式的值，避免了多次乘法运算，效率较高。