psnr和ssim MAE RMSE计算公式

### PSNR、SSIM、MAE、RMSE 的计算公式

#### 峰值信噪比 (PSNR)

峰值信噪比是一种常用的图像质量评估指标，用于衡量重建图像的质量。其定义为：

\[ \text{PSNR} = 10 \cdot \log_{10}\left(\frac{\text{MAX}_I^2}{\text{MSE}}\right) \]

其中，
- \( \text{MAX}_I \) 是像素的最大可能强度值（对于8位灰度图像是255）
- \( \text{MSE} \) 表示均方误差。

该公式的推导基于信号处理理论中的信噪比概念[^4]。

import numpy as np

def psnr(original_image, noisy_image):
    mse_value = np.mean((original_image - noisy_image)**2)
    max_pixel_value = 255.0
    psnr_result = 20 * np.log10(max_pixel_value / np.sqrt(mse_value))
    return psnr_result

#### 结构相似性指数 (SSIM)

结构相似性指数测量两个图像之间的感知差异，考虑亮度、对比度和结构三方面的变化。基本形式如下所示：

\[ \text{SSIM}(x,y)=\frac{(2\mu_x\mu_y+C_1)(2\sigma_{xy}+C_2)}{(\mu_x^2+\mu_y^2+C_1)(\sigma_x^2+\sigma_y^2+C_2)} \]

这里 \( C_1=(K_1L)^2,C_2=(K_2L)^2 \)，\( L \) 是动态范围，\( K_1,K_2 << 1 \)[^2]。

from skimage.metrics import structural_similarity as ssim

ssim_index, diff = ssim(imageA, imageB, full=True)

#### 平均绝对误差 (MAE)

平均绝对误差是指预测值与实际观测值之间差额的绝对值的平均数:

\[ \text{MAE}=\frac{1}{n}\sum^n_{i=1}|y_i-\hat y_i| \]

此表达式适用于任何类型的数值数据集，在图像领域则指代像素级偏差[^3]。

def mae(img1, img2):
    absolute_error_sum = np.sum(np.abs(img1.astype('float') - img2.astype('float')))
    mean_absolute_error = absolute_error_sum / float(img1.shape[0] * img1.shape[1])
    return mean_absolute_error

#### 均方根误差 (RMSE)

均方根误差是各数据偏离真实值之平方和的平均数再开平方的结果，即标准差的一种变形：

\[ \text{RMSE}= \sqrt{\frac{1}{N}\sum^{N}_{i=1}(Y_i-Y'_i)^2 } \]

它反映了估计量与被估计量间的离散程度。

def rmse(predictions, targets):
    differences = predictions - targets                      
    differences_squared = differences ** 2                   
    mean_of_differences_squared = differences_squared.mean()  
    rmse_val = np.sqrt(mean_of_differences_squared)          
    return rmse_val