变步长梯形公式python

变步长梯形公式是用于对函数进行数值积分的一种方法。在Python中，我们可以使用以下代码来实现变步长梯形公式：

def trapezoidal_rule(func, a, b, n):
    h = (b - a) / n  # 计算步长
    result = 0.5 * (func(a) + func(b))  # 计算两端点的函数值
    for i in range(1, n):  # 循环计算中间点的函数值
        result += func(a + i * h)
    result *= h  # 乘以步长
    return result

在这段代码中，trapezoidal_rule函数接受四个参数：func代表被积函数，a和b代表积分区间的起点和终点，n代表划分区间的个数。首先计算步长h，然后根据梯形法则计算积分的结果。最后返回积分的值。

使用这段代码，我们可以对任意函数进行数值积分，只需要将被积函数作为参数传入trapezoidal_rule函数中即可。这样就可以很方便地利用变步长梯形公式进行数值积分了。

需要注意的是，对于不同的被积函数和积分区间，可能需要调整划分区间的个数n来获得更精确的积分结果。

相关问题

试采用梯形递推公式，编程计算 的近似积分值，要求能够根据所输入的精度要求，通过截断误差的事后预估，确定步长。用python方法编程。

好的，以下是代码实现：

import math

def trapezoidal_rule(f, a, b, n):
    """
    梯形递推公式计算函数f在区间[a,b]上的近似积分值
    :param f: 被积函数
    :param a: 积分下限
    :param b: 积分上限
    :param n: 划分的区间数
    :return: 近似积分值
    """
    h = (b - a) / n
    s = (f(a) + f(b)) / 2
    for i in range(1, n):
        s += f(a + i * h)
    return s * h

def adaptive_trapezoidal_rule(f, a, b, tol):
    """
    自适应梯形递推公式计算函数f在区间[a,b]上的近似积分值
    :param f: 被积函数
    :param a: 积分下限
    :param b: 积分上限
    :param tol: 精度要求
    :return: 近似积分值
    """
    fa, fb = f(a), f(b)
    I = (b - a) * (fa + fb) / 2
    n = 1
    while True:
        h = (b - a) / n
        s = sum(f(a + i * h) for i in range(1, n))
        I_half = I / 2 + h * s / 2
        if abs(I_half - I) < tol:
            return I_half
        else:
            I = I_half
            n *= 2

# 测试代码
f = lambda x: math.sin(x) / x
a, b = 0.01, 1
tol = 1e-6
I_approx = adaptive_trapezoidal_rule(f, a, b, tol)
print("近似积分值：", I_approx)

解释一下代码的实现思路：

- `trapezoidal_rule`: 实现了梯形递推公式的计算，其中`h`是步长，`s`是对区间内所有点进行加权求和的结果。
- `adaptive_trapezoidal_rule`: 实现了自适应梯形递推公式的计算，其中`I`是初步的积分估计值，`n`是区间数。在每一次迭代中，我们根据当前的区间数和步长计算出新的估计值`I_half`，并通过比较`I_half`和`I`的差距来判断是否达到了要求。如果达到了，我们返回`I_half`；如果没有达到，我们将`I_half`作为新的初始估计值，将区间数`n`翻倍，再次计算。

希望这段代码能够帮助你解决问题。如果有不明白的地方，随时可以问我。

分别使用矩形法， 梯形法， 抛物线法， 变步长梯形法法， 变步长辛普森法计算 \int _{0}^{1}(x^{2}+ \cos x)dx \int _{1}^{ \frac { \pi }{2}}(3x^{5}+e^{x}+ \log (x+1))dx代码

在Python中，我们可以使用`scipy.integrate`模块中的数值积分函数来实现这些方法。以下是分别使用矩形法、梯形法、变步长梯形法（Simpson's 1/3规则）、以及变步长辛普森法则（Simpson's 3/8规则）计算给定积分的示例代码：

from scipy.integrate import quad, simps, romb

# 定义被积函数
def integrand(x):
    integral1 = x**2 + cos(x)
    integral2 = lambda x: 3*x**5 + exp(x) + log(x + 1)

    return integral1 if x <= 1 else integral2(x)

# 矩形法（直接求和）
rectangular_integral1 = sum(integrand(xi) * dx for xi, dx in zip([0] + [i / 100 for i in range(1, 100)], [0.01] * 99))
print(f"矩形法: {rectangular_integral1}")

# 梯形法
trapezoidal_integral1 = quad(integrand, 0, 1, epsabs=1e-6)[0]
print(f"梯形法: {trapezoidal_integral1}")

# 变步长梯形法（Simpson's 1/3规则）
simpson_integral1 = simps(integrand, [i / 100 for i in range(1, 100)])
print(f"Simpson's 1/3规则: {simpson_integral1}")

# 变步长辛普森法则（Simpson's 3/8规则）
romberg_integral1 = romb(integrand, n=100, show=False)  # 注意这个函数可能会很慢，因为它使用了Romberg公式
print(f"Romberg方法 (3/8规则): {romberg_integral1}")

# 第二个积分
integral2 = quad(integrand, 1, pi / 2, epsabs=1e-6)[0]
print(f"积分区间 [1, π/2]: {integral2}")

注意：这些代码示例假设每个积分区域均匀划分成了100份，实际应用中可以根据需要调整步长。