信赖域方法解优化问题python

信赖域方法是求解无约束优化问题的一种方法，它的核心思想是在每次迭代中，寻找一个局部二次模型来近似目标函数，并在一个信赖域内寻找这个局部二次模型的最小值。下面是使用Python实现信赖域方法解优化问题的示例代码：

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize_scalar

def f(x):
    return x[0]**2 + 2*x[1]**2 + 2*x[0]*x[1] + x[0] + x[1]

def grad_f(x):
    return np.array([2*x[0] + 2*x[1] + 1, 4*x[1] + 2*x[0] + 1])

def hessian_f(x):
    return np.array([[2, 2], [2, 4]])

def trust_region_method(x0, delta0=1.0, eta=0.1, max_iter=1000, epsilon=1e-6):
    x = x0
    delta = delta0
    for i in range(max_iter):
        g = grad_f(x)
        B = hessian_f(x)
        B_delta = B + delta * np.eye(2)
        d = np.linalg.solve(B_delta, -g)
        model_improvement = f(x + d) - f(x)
        q_d = g.dot(d) + 0.5 * d.dot(B).dot(d)
        rho = model_improvement / q_d
        if rho < 0.25:
            delta = 0.25 * delta
        elif rho > 0.75 and np.linalg.norm(d) == delta:
            delta = min(2*delta, delta_max)
        if rho > eta:
            x = x + d
        if np.linalg.norm(g) < epsilon:
            break
    return x

x0 = np.array([0, 0])
x = trust_region_method(x0)
print("Optimal solution:", x)
print("Optimal value:", f(x))

在上述代码中，`f` 函数是要优化的目标函数，`grad_f` 函数是目标函数的梯度，`hessian_f` 函数是目标函数的Hessian矩阵，`trust_region_method` 函数是使用信赖域方法求解最优解的函数。

使用上述代码，你可以解决无约束优化问题。其中，`delta0` 是信赖域初始半径，`eta` 是控制模型准确度的参数，`max_iter` 是最大迭代次数，`epsilon` 是控制收敛精度的参数。