给定矩阵 $A=\begin{bmatrix} 5 & 2 & -4 \ 2 & 1 & -2 \ -4 & -2 & 5 \end{bmatrix}$,,求doolittle分解和LDU分解
时间: 2024-05-19 18:14:15 浏览: 18
向量 $\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{bmatrix}$ 与矩阵 $A$ 的积为:
$$A\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 3 \\ -3 & 4 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5(1)+1(-2)+(-1)(3) \\ 2(1)+0(-2)+3(3) \\ (-3)(1)+4(-2)+2(3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 11 \\ -7 \end{bmatrix}$$
因此,答案为 $\begin{bmatrix} 0 \\ 11 \\ -7 \end{bmatrix}$。
相关问题
给定函数 $f(x,y)=x^2+y^2-2x+4y-1$,求函数 $f(x,y)$ 的极值。
好的,这是一个多元函数的极值问题。我们可以按照如下步骤来求解:
1. 求出函数 $f(x,y)$ 的偏导数:
$$
\begin{aligned}
\frac{\partial f}{\partial x} &= 2x - 2,\\
\frac{\partial f}{\partial y} &= 2y + 4.
\end{aligned}
$$
2. 令偏导数为零,解出 $x$ 和 $y$ 的值:
$$
\begin{aligned}
\frac{\partial f}{\partial x} &= 2x - 2 = 0,\\
\frac{\partial f}{\partial y} &= 2y + 4 = 0.
\end{aligned}
$$
由此可得,$x=1$,$y=-2$。
3. 判定这些值是否为极值点。为此,我们需要判定这些点是否为函数 $f(x,y)$ 的极小值或极大值。我们可以使用 Hessian 矩阵的判定法。Hessian 矩阵是一个 $2\times 2$ 的矩阵,定义为:
$$
H(f) = \begin{bmatrix}
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\\
\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}
\end{bmatrix}.
$$
计算出函数 $f(x,y)$ 的 Hessian 矩阵为:
$$
H(f) = \begin{bmatrix}
2 & 0\\
0 & 2
\end{bmatrix}.
$$
由于 $H(f)$ 是正定矩阵,所以点 $(1,-2)$ 是函数 $f(x,y)$ 的极小值点。
因此,函数 $f(x,y)=x^2+y^2-2x+4y-1$ 在点 $(1,-2)$ 处取得极小值 $f(1,-2)=-2$。
[[ 1. 1.] [-1. -1.] [ 2. -2.] [-2. 2.]] 计算协方差矩阵
对于给定的数据集 $X$,协方差矩阵 $\Sigma$ 的计算公式为:
$$\Sigma = \frac{1}{n-1} ((X-\bar{X})^T(X-\bar{X}))$$
其中,$n$ 为数据集中样本的数量,$\bar{X}$ 为数据集在每个特征维度上的均值。
对于给定的数据集 $X = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \\ 2 & -2 \\ -2 & 2 \end{bmatrix}$,可以计算出每个特征维度上的均值向量 $\bar{X}$:
$$\bar{X} = \begin{bmatrix} \frac{1-1+2-2}{4} & \frac{1-1-2+2}{4} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \end{bmatrix}$$
然后,将 $X$ 矩阵进行中心化处理,得到中心化的数据矩阵 $Z$:
$$Z = X - \bar{X} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \\ 2 & -2 \\ -2 & 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \\ 2 & -2 \\ -2 & 2 \end{bmatrix}$$
然后计算 $Z$ 矩阵的转置矩阵 $Z^T$:
$$Z^T = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & -1 & -2 & 2 \end{bmatrix}$$
最后,带入协方差矩阵的计算公式,得到协方差矩阵 $\Sigma$:
$$\Sigma = \frac{1}{4-1} ((Z^T Z)) = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 10 & -10 \\ -10 & 10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{10}{3} & -\frac{10}{3} \\ -\frac{10}{3} & \frac{10}{3} \end{bmatrix}$$
因此,给定数据集的协方差矩阵为 $\begin{bmatrix} \frac{10}{3} & -\frac{10}{3} \\ -\frac{10}{3} & \frac{10}{3} \end{bmatrix}$。