7-1 最长公共子序列

最长公共子序列（Longest Common Subsequence，LCS）是指给定两个字符串S1和S2，找出它们的最长公共子序列，即在两个字符串中都存在的最长的子序列。比如，字符串S1=“ABCD”，字符串S2=“ACDF”，则它们的最长公共子序列为“ACD”。

解决LCS问题一般采用动态规划的方法。假设S1和S2分别有m和n个字符，令dp[i][j]表示S1中前i个字符和S2中前j个字符的LCS长度，则有以下状态转移方程：

当S1[i]==S2[j]时，dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1；
当S1[i]!=S2[j]时，dp[i][j]=max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])。

其中，当S1[i]==S2[j]时，表示S1中前i个字符和S2中前j个字符的LCS中必然包含S1[i]（也包含S2[j]），所以LCS的长度加1；当S1[i]!=S2[j]时，表示S1中前i个字符和S2中前j个字符的LCS中不可能同时包含S1[i]和S2[j]，那么LCS的长度要么是S1中前i-1个字符和S2中前j个字符的LCS长度，要么是S1中前i个字符和S2中前j-1个字符的LCS长度，取两者的最大值即可。

最终dp[m][n]即为S1和S2的最长公共子序列长度。可以根据dp数组来找到具体的LCS序列。具体实现细节可以参考下面的代码实现。

相关问题

7-1 最长公共子序列 (20 分)

### 回答1：
7-1 最长公共子序列是一道经典的动态规划问题，其解法可以用来解决字符串匹配、图像识别等问题。其基本思路是将两个字符串分别作为两个序列，然后通过动态规划的方式求解它们的最长公共子序列。具体来说，我们可以定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示第一个序列前i个字符和第二个序列前j个字符的最长公共子序列长度。然后，我们可以通过以下递推式来求解dp数组：

dp[i][j] = (i=或j=)
dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1 (s1[i-1]=s2[j-1])
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) (s1[i-1]!=s2[j-1])

最终，dp[m][n]就是两个序列的最长公共子序列长度，其中m和n分别为两个序列的长度。同时，我们还可以通过回溯的方式来求解最长公共子序列本身。具体来说，我们可以从dp[m][n]开始，根据dp数组的值不断向左上方移动，直到dp[i][j]=为止，这样就可以得到最长公共子序列。

### 回答2：
最长公共子序列问题，即求两个序列的最长公共子序列的长度。其应用广泛，如DNA序列比对、拼写检查、版本控制等领域。

方法一：暴力求解
可以遍历两个序列的所有子序列，找到它们的最长公共子序列。时间复杂度为O(2^n)，n为两个序列的长度之和，因此不适用于较长的序列。

方法二：动态规划
定义L[i][j]为第一个序列的前i个字符和第二个序列的前j个字符的最长公共子序列长度。则对于第i个字符和第j个字符：
1. 当s1[i] == s2[j]时，它们可以加入到最长公共子序列中，L[i][j] = L[i-1][j-1]+1。
2. 当s1[i] != s2[j]时，它们不在最长公共子序列中，需要舍弃一个字符，可选择舍弃s1[i]，此时L[i][j] = L[i-1][j]；或舍弃s2[j]，此时L[i][j] = L[i][j-1]。取两种情况的较大值即可。

最终结果为L[n1][n2]，其中n1和n2分别为两个序列的长度。时间复杂度为O(n1*n2)，有很好的时间效率。

以下为Python代码实现：

def lcs(s1, s2):
n1, n2 = len(s1), len(s2)
L = [[0 for j in range(n2+1)] for i in range(n1+1)]
for i in range(1, n1+1):
for j in range(1, n2+1):
if s1[i-1] == s2[j-1]:
L[i][j] = L[i-1][j-1] + 1
else:
L[i][j] = max(L[i-1][j], L[i][j-1])
return L[n1][n2]

### 回答3：
最长公共子序列问题是一个经典的动态规划问题，解决此问题的算法被广泛运用于字符串比较、版本控制、基因分析等领域。

最长公共子序列问题的目标是寻找两个字符串中最长的公共子序列。一个字符串的子序列是指从该字符串中任意删除一些字符形成的新字符串，而公共子序列是指同时在两个字符串中出现的子序列。

动态规划解决方案可以通过构建一个二维数组来实现。数组中的每个元素 [i][j] 则代表着字符串 A中前i个字符与字符串 B中前j个字符的最长公共子序列长度。将该数组按顺序填充即可，最终所求的最长公共子序列就可以从数组中回溯得出。

使用动态规划的时间复杂度为 O(mn) （其中 m 和 n 分别为两个字符串的长度）。由于解决了搜索和比较所有可能的序列的复杂度，这种算法的运行速度比暴力算法快得多。

值得一提的是，最长公共子序列问题还有一种优化算法。这种算法主要是用于字符串匹配的 Boyer-Moore算法。此算法的时间复杂度为 O(nm)，在某些情况下，该算法优于动态规划算法，但在大多数情况下，动态规划算法仍然是最优解。

7-3 最长公共子序列长度 c

最长公共子序列（Longest Common Subsequence，LCS）是指给定两个序列 X 和 Y，找到它们之间最长的公共子序列的长度。子序列是指从序列中随意地删去若干个元素后剩余的元素按原有次序组成的新序列。

求解最长公共子序列长度可以使用动态规划的方法。设 $c[i,j]$ 表示序列 $X$ 的前 $i$ 个元素和序列 $Y$ 的前 $j$ 个元素的最长公共子序列长度，则有以下递推式：

$$
c[i,j] = \begin{cases}
0 & i=0 \text{ 或 } j=0 \\
c[i-1,j-1]+1 & i,j>0 \text{ 且 } x_i=y_j \\
\max(c[i-1,j],c[i,j-1]) & i,j>0 \text{ 且 } x_i\neq y_j
\end{cases}
$$

其中，第一种情况表示一个序列为空时，最长公共子序列长度为 $0$；第二种情况表示两个序列的最后一个元素相同，那么最长公共子序列的长度就是在去掉这个相同元素后的两个子序列的 LCS 长度加上 $1$；第三种情况表示两个序列的最后一个元素不同，那么最长公共子序列的长度就是在去掉两个序列的最后一个元素后，两个子序列的 LCS 长度的较大值。

最终，我们需要求解的就是 $c[m,n]$，其中 $m$ 和 $n$ 分别为序列 $X$ 和 $Y$ 的长度。