D - 最长公共子序列问题

最长公共子序列问题是指给定两个序列X和Y，找出它们之间最长的公共子序列。公共子序列是指从两个序列中删除若干个字符（可以不连续）后形成的新序列。解决该问题的一种方法是使用动态规划算法。

动态规划算法的思路是，先确定初始条件，然后逐步计算出更长的公共子序列。我们可以使用一个二维数组c来记录最长公共子序列的长度。c[i][j]表示序列X的前i个字符和序列Y的前j个字符的最长公共子序列的长度。根据递推关系，可以使用以下代码来求解：

if (x[i-1] == y[j-1]) {
c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
} else {
c[i][j] = max(c[i-1][j], c[i][j-1]);
}

其中，max()函数返回两个数中的较大值。

最后，c[m][n]就是最长公共子序列的长度。

相关问题

7-1 最长公共子序列

最长公共子序列（Longest Common Subsequence，LCS）是指给定两个字符串S1和S2，找出它们的最长公共子序列，即在两个字符串中都存在的最长的子序列。比如，字符串S1=“ABCD”，字符串S2=“ACDF”，则它们的最长公共子序列为“ACD”。

解决LCS问题一般采用动态规划的方法。假设S1和S2分别有m和n个字符，令dp[i][j]表示S1中前i个字符和S2中前j个字符的LCS长度，则有以下状态转移方程：

当S1[i]==S2[j]时，dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1；
当S1[i]!=S2[j]时，dp[i][j]=max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])。

其中，当S1[i]==S2[j]时，表示S1中前i个字符和S2中前j个字符的LCS中必然包含S1[i]（也包含S2[j]），所以LCS的长度加1；当S1[i]!=S2[j]时，表示S1中前i个字符和S2中前j个字符的LCS中不可能同时包含S1[i]和S2[j]，那么LCS的长度要么是S1中前i-1个字符和S2中前j个字符的LCS长度，要么是S1中前i个字符和S2中前j-1个字符的LCS长度，取两者的最大值即可。

最终dp[m][n]即为S1和S2的最长公共子序列长度。可以根据dp数组来找到具体的LCS序列。具体实现细节可以参考下面的代码实现。

最长公共子序列问题abcbdab

最长公共子序列问题是指在两个或多个序列中找到一个最长的子序列，该子序列在所有给定序列中都出现，但不一定连续。对于给定的字符串X="ABCBDAB"和Y="BDCABA"，它们的最长公共子序列为"BCBA"，长度为4。

以下是求解最长公共子序列问题的动态规划算法步骤：

1. 定义状态：设dp[i][j]为字符串X的前i个字符和字符串Y的前j个字符的最长公共子序列长度。

2. 初始化状态：dp[j]和dp[i][0]均为0，因为其中一个字符串为空时，它们的最长公共子序列长度为0。

3. 状态转移方程：当X[i-1] == Y[j-1]时，dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1；否则，dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])。

4. 最终状态：dp[m][n]即为字符串X和Y的最长公共子序列长度。

根据上述算法步骤，对于字符串X="ABCBDAB"和Y="BDCABA"，可以得到如下的动态规划表格：

| | | B | D | C | A | B | A |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| A | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| B | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 |
| C | 0 | 1 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 |
| B | 0 | 1 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 |
| D | 0 | 1 | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 |
| A | 0 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 |
B | 0 | 1 | 2 | 2 | 3 | 4 | 4 |

因此，字符串X="ABCBDAB"和Y="BDCABA"的最长公共子序列长度为4，最长公共子序列为"BCBA"。