lim(x->y) （e的x次幂-e的y次幂）/x-y

根据极限的定义，我们有：

lim(x->y) (e^x - e^y)/(x-y) = (d/dx)(e^x)|x=y

即求 e^x 的导数在 x=y 时的值。

我们有：

(d/dx)(e^x) = e^x

因此，在 x=y 时，导数的值为 e^y。

因此，原极限的值为：

lim(x->y) (e^x - e^y)/(x-y) = e^y

相关问题

clear; close all; clc %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % diff_vel p2p Motion Control 两轮差速任意姿态到达目标点 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% input 输入 % Goal -----------目标位姿 % r --------------驱动轮半径(m) % l --------------轮间距，两驱动轮中心间距(m) % InitPos --------初始位姿 % goal_rad -------目标半径(m) % lin_vel_lim ----速度限幅(m/s) % lin_acc_lim ----加速度限幅(m/s^2) % ang_vel_lim ----角速度限幅(rad/s) % ang_acc_lim ----角加速度限幅(rad/s^2) % ctrl_fre -------控制频率(hz) % max_sim_time ---最大仿真时长(s) %% output 输出 % lin_vel --------车体线速度(m/s) % ang_vel --------车体角速度(rad/s)(右手定则) % theta ----------姿态角（rad） % v_l ------------左轮转动线速度(m/s) % v_r ------------右轮转动线速度(m/s) % phiL -----------左轮正方向转动角速度，记反转速度为负值(rad/s) % phiR -----------右轮正方向转动角速度，记反转速度为负值(rad/s) %% 位姿信息 % Pos = [x, y ,theta] %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% 仿真开始 InitPos = [1, 0, 0]; Goal = [5,4,0]; r = 0.15; l = 0.4; goal_rad = 0.05; ctrl_fre = 100; max_sim_time = 100; lin_vel_lim = 1.2; lin_acc_lim = lin_vel_lim/2; ang_vel_lim = 1.5; ang_acc_lim = 0.8; sim('diff_vel_motion_ctrl_system.slx'); PlotTracking; %画图

这是一段MATLAB代码，用于实现两轮差速任意姿态到达目标点的运动控制。输入包括目标位姿、驱动轮半径、轮间距、初始位姿、目标半径、速度和加速度限幅、角速度和角加速度限幅、控制频率和最大仿真时长。输出包括车体线速度、车体角速度、姿态角、左轮和右轮转动线速度、左轮和右轮正方向转动角速度。代码中还包括位姿信息和仿真开始。最后调用了PlotTracking函数画图。

\lim \limits _{(x,y) \in IR^{2}}f(x)=(x-1)^{2}+y-2 s. t. h( x) = y - x - 1 = 0 g(x) =x+y - 2≤ 0. 计算满足KKT条件的点，并利用二阶条件验证上述点是否是局部极小值点.

首先列出拉格朗日函数：
$$
L(x,y,\alpha,\beta)=f(x)-\alpha h(x)-\beta g(x)
$$
其中，$\alpha$ 和 $\beta$ 是拉格朗日乘子。

根据KKT条件，有：
$$
\begin{aligned}
&\nabla f(x)-\alpha \nabla h(x)-\beta \nabla g(x)=0\\
&h(x)=0\\
&g(x)\le 0\\
&\beta\ge 0\\
&\beta g(x)=0\\
\end{aligned}
$$

将$f(x)$和$h(x)$代入，可得：
$$
\begin{aligned}
&\begin{cases}
2(x-1)-\alpha-\beta=0\\
1-\alpha=0\\
x+y-2\le 0\\
\beta\ge 0\\
\beta(x+y-2)=0\\
\end{cases}\\
\Rightarrow&\begin{cases}
\alpha=1\\
\beta=0\\
x+y-2\le 0\\
\end{cases}
\end{aligned}
$$

因此，满足KKT条件的点为：
$$
(x,y)=(1,1)
$$

接下来，利用二阶条件验证$(1,1)$是否是局部极小值点。

首先，计算$\nabla^2 f(x)$：
$$
\nabla^2 f(x)=\begin{pmatrix}
2 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}
$$

然后，计算$\nabla h(x)$和$\nabla g(x)$：
$$
\nabla h(x)=\begin{pmatrix}
-1 \\
1 \\
\end{pmatrix}
$$
$$
\nabla g(x)=\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
\end{pmatrix}
$$

接着，计算$\nabla^2 L(x)$：
$$
\nabla^2 L(x)=\nabla^2 f(x)-\alpha \nabla^2 h(x)-\beta \nabla^2 g(x)
$$
$$
\nabla^2 L(x)=\begin{pmatrix}
2 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0 \\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}
$$

因为$\nabla^2 L(x)$是正定的，所以$(1,1)$是局部极小值点。