lim(x->y) (e的x次幂-e的y次幂)/x-y
时间: 2024-03-21 13:23:11 浏览: 21
根据极限的定义,我们有:
lim(x->y) (e^x - e^y)/(x-y) = (d/dx)(e^x)|x=y
即求 e^x 的导数在 x=y 时的值。
我们有:
(d/dx)(e^x) = e^x
因此,在 x=y 时,导数的值为 e^y。
因此,原极限的值为:
lim(x->y) (e^x - e^y)/(x-y) = e^y
相关问题
定积分e^-y 范围x到正无穷
### 回答1:
要求解定积分 $\int_{x}^{\infty} e^{-y} dy$。
首先,我们可以对 $e^{-y}$ 进行不定积分,得到 $-\int e^{-y} d(-y) = -e^{-y} + C$,其中 $C$ 为积分常数。
然后,我们可以将积分限代入不定积分的结果,得到:
$$\int_{x}^{\infty} e^{-y} dy = \left[ -e^{-y} \right]_{x}^{\infty} = \lim_{t \rightarrow \infty} (-e^{-t} - (-e^{-x}))$$
当 $t \rightarrow \infty$ 时,$e^{-t} \rightarrow 0$,因此上式等于:
$$\int_{x}^{\infty} e^{-y} dy = e^{-x}$$
因此,定积分 $\int_{x}^{\infty} e^{-y} dy$ 的结果为 $e^{-x}$。
### 回答2:
要计算定积分$\int_{x}^{\infty} e^{-y} \,dy$。
我们可以使用变量代换的方法来求解这个积分。我们令$u=-y$,则$du=-dy$。同时,当$y$趋近于正无穷时,$u$会趋近于负无穷。
当$y=x$时,$u=-x$;当$y$趋近于正无穷时,$u$趋近于负无穷。
代入积分得:$\int_{-x}^{-\infty}e^u \,du$。
再次改写积分的上下限,得到$\int_{-\infty}^{-x}e^u \,du$。
现在,我们需要解决这个积分。反函数$(-e^u)'=-e^u$,所以我们可以将其积分改为负号并换回到$y$的变量。
得到的结果是:$\left[-e^u\right]_{-\infty}^{-x}=-e^{-x}-(-e^{-\infty})=-e^{-x}$。
因此,定积分$\int_{x}^{\infty} e^{-y} \,dy$的结果为$-e^{-x}$。
总结:定积分$\int_{x}^{\infty} e^{-y} \,dy$的结果为$-e^{-x}$。
### 回答3:
要计算定积分$\int_x^{+\infty} e^{-y} \, dy$。
首先,我们注意到$e^{-y}$是连续函数,且在区间$(x, +\infty)$上始终为正。因此,该定积分存在。
我们可以使用不定积分的方法来计算出该定积分的值。记$F(y)=-e^{-y}$,则$F'(y)=e^{-y}$。根据不定积分的性质,我们有:
$$\int e^{-y} \, dy = -e^{-y} + C$$
这里的$C$是积分常数。将上述结果代入定积分的表达式中,我们有:
$$\int_x^{+\infty} e^{-y} \, dy = \lim_{y\to+\infty} \left(-e^{-y} - (-e^{-x})\right)$$
由于当$y$趋向于正无穷时,$-e^{-y}$趋近于0,以上极限为:
$$\int_x^{+\infty} e^{-y} \, dy = e^{-x}$$
综上所述,定积分$\int_x^{+\infty} e^{-y} \, dy$的值为$e^{-x}$。
x的-1/3次方的左右导数相等吗
### 回答1:
对于一个函数 f(x),如果它在某个点 x0 处有可导,则这个点处的导数可以定义为:f'(x0)= lim(h->0) [(f(x0+h)-f(x0))/h]
所以如果一个函数在某个点 x0 处的左右导数相等,那么就是说在这个点处,它的左右两侧的所有可导的函数的导数的极限值相等。
对于 x 的 -1/3 次方的函数,它的表达式为 y=x^(-1/3)。
如果我们要求这个函数在某个点 x0 处的左右导数,可以使用如下的公式:
左侧导数:lim(h->0) [(x0^(-1/3)-(x0-h)^(-1/3))/h]
右侧导数:lim(h->0) [((x0+h)^(-1/3)-x0^(-1/3))/h]
通过计算可以得到,这两个导数的值是不相等的,所以 x 的 -1/3 次方的函数在某个点 x0 处的左右导数并不相等。
### 回答2:
首先,我们先计算x的-1/3次方,表示为x^(-1/3)。
x^(-1/3) = 1/x^(1/3) = 1/∛x
接下来,我们来求x^(-1/3)的左右导数。
左导数(x -> 0-):
∂/∂x (x^(-1/3)) = ∂/∂x (1/∛x) = ∂/∂x (x^(-1/3)) = -1/(3∛x^4) = -1/(3x^(4/3))
右导数(x -> 0+):
∂/∂x (x^(-1/3)) = ∂/∂x (1/∛x) = ∂/∂x (x^(-1/3)) = -1/(3∛x^4) = -1/(3x^(4/3))
可以看出,无论是左导数还是右导数,都等于-1/(3x^(4/3))。
因此,x的-1/3次方的左右导数是相等的。
### 回答3:
x的-1/3次方的导数是多项式函数的导数。对于多项式函数来说,导数是连续函数,因此它在每一个点的左右导数是相等的。
具体来说,x的-1/3次方的左导数和右导数都等于函数在该点的导数值。以x^(-1/3)为例:
左导数:lim(x→a-) [ (x^(-1/3) - a^(-1/3)) / (x - a) ]
右导数:lim(x→a+) [ (x^(-1/3) - a^(-1/3)) / (x - a) ]
其中,a为函数的某个定义域内的值。
对于这个特定的例子,可以使用导数的定义求出左导数和右导数的值。
左导数:lim(x→a-) [ (x^(-1/3) - a^(-1/3)) / (x - a) ] = (a^(-1/3) - a^(-1/3)) / (a - a) = 0
右导数:lim(x→a+) [ (x^(-1/3) - a^(-1/3)) / (x - a) ] = (a^(-1/3) - a^(-1/3)) / (a - a) = 0
可以看到,左导数和右导数的值都是0,说明在每一个点,x的-1/3次方的左右导数是相等的。
因此,在这个特定的情况下,x的-1/3次方的左右导数是相等的。
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