求当x趋向1,y趋向0 [3-(xy)^2-e^xy]/x^3+y^3 的极限
时间: 2023-11-13 21:16:19 浏览: 47
我们可以使用L'Hôpital法则求解该极限。首先,将分子和分母都对$x$求导,得到:
$\lim_{x\to 1,y\to 0} \frac{d}{dx} \left[\frac{3-(xy)^2-e^{xy}}{x^3+y^3}\right]$
$=\lim_{x\to 1,y\to 0}\frac{-2xy^2-e^{xy}(y+x^2y)}{3x^2+y^2}$
接下来,将$x=1$和$y=0$代入上式,得到:
$\lim_{x\to 1,y\to 0}\frac{-2xy^2-e^{xy}(y+x^2y)}{3x^2+y^2} = \frac{0-1(0+1\cdot0)}{3+0} = -\frac{1}{3}$
因此,当$x$趋向1,$y$趋向0时,原式的极限为$-\frac{1}{3}$。
相关问题
y=(x^2-5x+2)/x的渐近线
对于这个函数,我们需要找到它的垂直渐近线和水平渐近线。
首先,我们来看看分母 x。当 x 趋向正无穷或负无穷时,函数可以近似表示为:
y = (x^2-5x+2)/x = x - 5 + 2/x
当 x 趋向正无穷或负无穷时,2/x 的值趋向于0,因此函数的图像接近于直线 y = x - 5。这意味着函数有一条斜率为 1 的斜线作为它的斜渐近线。
然后,我们来看看函数的垂直渐近线。当分母等于0时,函数不连续。因此,我们需要求解以下方程:
x = 0
这意味着函数有一条垂直渐近线 x = 0。
因此,函数 (x^2-5x+2)/x 的渐近线为:
斜渐近线:y = x - 5
垂直渐近线:x = 0
无穷级数e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+⋯计算指数函数
我们可以通过求导来计算指数函数的值。首先,我们有:
e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...
对两边同时求导,得到:
d/dx (e^x) = d/dx (1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...)
= 0 + 1 + 2x/2! + 3x^2/3! + ...
= 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...
注意到右侧的表达式就是 e^x,因此我们有:
d/dx (e^x) = e^x
这个式子告诉我们,求导后的结果仍然是原来的指数函数。因此,我们可以通过多次求导来计算指数函数在某个点的值。例如,要计算 e^2 的值,我们可以这样做:
e^2 = d/dx (e^x) | x=2
= d/dx (e^x) | x=1 + d/dx (e^x) | x=1 + d/dx (e^x) | x=1 + ...
= e^1 + e^1 + e^1 + ...
= e + e + e + ...
= ∞
这个结果告诉我们,指数函数在任何点的导数都是它自己,因此它的增长速度非常快,导致它在任何有限值处都会趋向于无穷大。
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