用c或c++写0-1背包问题求放置哪些物品进背包,可使这些物品的重量总和不超过背包容量,且价值总和最大。运用动态规划法实现背包最大价值最优装载方式。给出代码

Sure! 下面是 C++ 代码实现：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N = 1010;
int n, m;
int w[N], v[N];
int f[N][N];   // f[i][j]表示前i个物品总重不大于j的最大价值

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> w[i] >> v[i];
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 0; j <= m; j++) { // 0到背包容量
            f[i][j] = f[i-1][j];  // 不放第i件物品
            if (j >= w[i]) {  // 能放得下第i件物品
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j-w[i]]+v[i]);  // 取价值大的
            }
        }
    }
    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}

这个代码的时间复杂度是 $O(nm)$，其中 n 是物品个数，m 是背包容量。所以，它是一个比较高效的解法。

相关问题

C++实现 【问题描述】使用动态规划算法解0-1背包问题，具体来说就是，依据递归式，按照顺序求得子问题，使得选择合适物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最大。 【输入形式】在屏幕上输入背包容量、物品数量、每件物品价值和重量。 【输出形式】最优解时所选物品的价值总和及其编号。

好的，以下是C++代码实现：

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

int main() {
    int C, n;  // 背包容量，物品数量
    cin >> C >> n;

    vector<int> w(n+1), v(n+1);  // 物品重量和价值
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> v[i] >> w[i];
    }

    vector<vector<int>> f(n+1, vector<int>(C+1));  // f[i][j]表示前i个物品放入容量为j的背包中可获得的最大价值
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= C; j++) {
            if (j < w[i]) {
                f[i][j] = f[i-1][j];
            } else {
                f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-w[i]] + v[i]);
            }
        }
    }

    int res = f[n][C];  // 最大价值
    cout << "最大价值：" << res << endl;

    vector<int> selected;  // 所选物品的编号
    int j = C;
    for (int i = n; i >= 1; i--) {
        if (f[i][j] > f[i-1][j]) {
            selected.push_back(i);
            j -= w[i];
        }
    }
    cout << "所选物品编号：";
    for (int i = selected.size()-1; i >= 0; i--) {
        cout << selected[i] << " ";
    }
    cout << endl;

    return 0;
}

希望能对你有所帮助！

用C++语言编程，用不同方法完成0-1背包问题程序，并通过测试。 问题描述：有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

好的，我来为您介绍几种不同的方法来解决0-1背包问题。

方法一：暴力枚举

暴力枚举是最简单直接的方法，它会枚举所有可能的情况，然后从中找出最优解。具体做法是，对于每个物品，可以选择将其放入背包或者不放入背包，然后递归处理剩下的物品。在递归过程中，需要记录当前背包中已经装入的物品的费用总和和价值总和，以及还未处理的物品的下标。当处理完所有物品或者背包已经装满时，更新最优解。该方法的时间复杂度为O(2^n)，其中n为物品数量。

下面是使用暴力枚举求解0-1背包问题的示例代码：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

// 暴力枚举
void knapsack(vector<int>& w, vector<int>& v, int c, int& max_v, int cur_w, int cur_v, int idx) {
    if (cur_w > c) return; // 超出背包容量，不符合条件
    if (idx == w.size()) { // 处理完所有物品
        max_v = max(max_v, cur_v);
        return;
    }
    knapsack(w, v, c, max_v, cur_w + w[idx], cur_v + v[idx], idx + 1); // 选择将当前物品放入背包
    knapsack(w, v, c, max_v, cur_w, cur_v, idx + 1); // 选择不将当前物品放入背包
}

int main() {
    vector<int> w = {2, 3, 4, 5}; // 物品重量
    vector<int> v = {3, 4, 5, 6}; // 物品价值
    int c = 8; // 背包容量
    int max_v = 0; // 最大价值
    knapsack(w, v, c, max_v, 0, 0, 0); // 暴力枚举
    cout << "max value: " << max_v << endl;
    return 0;
}

方法二：动态规划

动态规划是解决0-1背包问题的常用方法，它基于子问题重叠和最优子结构的性质，将问题划分为若干个子问题，并且对每个子问题只求解一次，最终得到原问题的解。具体做法是，使用一个二维数组dp[i][j]表示将前i件物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。则有以下状态转移方程：

$$ dp[i][j] = \begin{cases} 0, \quad i=0 \text{ or } j=0 \\ dp[i-1][j], \quad j < w_i \\ \max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w_i] + v_i), \quad j \geq w_i \end{cases} $$

其中，dp[i-1][j]表示不选择第i件物品，dp[i-1][j-w_i]+v_i表示选择第i件物品。最终的解为dp[N][V]，其中N为物品数量，V为背包容量。该方法的时间复杂度为O(NV)，其中N为物品数量，V为背包容量。

下面是使用动态规划求解0-1背包问题的示例代码：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

// 动态规划
int knapsack(vector<int>& w, vector<int>& v, int c) {
    vector<vector<int>> dp(w.size()+1, vector<int>(c+1, 0));
    for (int i = 1; i <= w.size(); i++) {
        for (int j = 1; j <= c; j++) {
            if (j < w[i-1]) dp[i][j] = dp[i-1][j]; // 背包容量不足，不选择第i件物品
            else dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i-1]] + v[i-1]); // 选择第i件物品或不选择第i件物品
        }
    }
    return dp[w.size()][c];
}

int main() {
    vector<int> w = {2, 3, 4, 5}; // 物品重量
    vector<int> v = {3, 4, 5, 6}; // 物品价值
    int c = 8; // 背包容量
    int max_v = knapsack(w, v, c); // 动态规划
    cout << "max value: " << max_v << endl;
    return 0;
}

方法三：记忆化搜索

记忆化搜索是一种将递归算法转换为动态规划的方法，它使用一个二维数组memo[i][j]表示将前i件物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。与动态规划不同的是，记忆化搜索是自顶向下的，它将问题划分为若干个子问题，并且对每个子问题只求解一次，最终得到原问题的解。与暴力枚举相比，记忆化搜索可以避免重复计算，因此时间复杂度为O(NV)，与动态规划相同。

下面是使用记忆化搜索求解0-1背包问题的示例代码：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

// 记忆化搜索
int knapsack(vector<int>& w, vector<int>& v, int c, vector<vector<int>>& memo, int i, int j) {
    if (i == 0 || j == 0) return 0; // 边界条件
    if (memo[i][j] > 0) return memo[i][j]; // 已经计算过，直接返回
    if (j < w[i-1]) memo[i][j] = knapsack(w, v, c, memo, i-1, j); // 背包容量不足，不选择第i件物品
    else memo[i][j] = max(knapsack(w, v, c, memo, i-1, j), knapsack(w, v, c, memo, i-1, j-w[i-1])+v[i-1]); // 选择第i件物品或不选择第i件物品
    return memo[i][j];
}

int main() {
    vector<int> w = {2, 3, 4, 5}; // 物品重量
    vector<int> v = {3, 4, 5, 6}; // 物品价值
    int c = 8; // 背包容量
    vector<vector<int>> memo(w.size()+1, vector<int>(c+1, 0)); // 记忆化数组
    int max_v = knapsack(w, v, c, memo, w.size(), c); // 记忆化搜索
    cout << "max value: " << max_v << endl;
    return 0;
}

以上就是三种解决0-1背包问题的方法，它们分别是暴力枚举、动态规划和记忆化搜索。在实际应用中，一般使用动态规划来解决0-1背包问题，因为它具有较高的时间效率和空间效率。