已知一个时间序列 x n( ) [2,4,6,4,2]的频谱

首先，我们可以使用离散傅里叶变换（DFT）将时间序列转换为频域信号。假设时间序列长度为 N，那么 DFT 公式如下：

X[k] = Σ(n=0 to N-1) x[n] * exp(-j*2π*k*n/N)

其中，k 表示频率索引，X[k] 表示频域中对应频率的幅度和相位。exp(-j*2π*k*n/N) 表示旋转因子，j为虚数单位。

对于给定的时间序列 x[n] = [2,4,6,4,2]，我们可以将其转换为频域信号 X[k]。具体步骤如下：

1. 计算 N，这里 N=5。
2. 对于每个频率索引 k，计算 X[k] 的值。
- 当 k=0 时，X[0] 表示直流分量，即所有信号值的平均值，即 X[0] = (2+4+6+4+2)/5 = 18/5。
- 当 k=1 时，X[1] 表示第一个非零频率分量，即正弦波的频率为 1/N 的分量，即 X[1] = 2*exp(-j*2π*1*0/5) + 4*exp(-j*2π*1*1/5) + 6*exp(-j*2π*1*2/5) + 4*exp(-j*2π*1*3/5) + 2*exp(-j*2π*1*4/5) = -2 + 1.538j。
- 当 k=2 时，X[2] 表示第二个非零频率分量，即正弦波的频率为 2/N 的分量，即 X[2] = 2*exp(-j*2π*2*0/5) + 4*exp(-j*2π*2*1/5) + 6*exp(-j*2π*2*2/5) + 4*exp(-j*2π*2*3/5) + 2*exp(-j*2π*2*4/5) = 0。
- 当 k=3 时，X[3] 表示第三个非零频率分量，即正弦波的频率为 3/N 的分量，即 X[3] = 2*exp(-j*2π*3*0/5) + 4*exp(-j*2π*3*1/5) + 6*exp(-j*2π*3*2/5) + 4*exp(-j*2π*3*3/5) + 2*exp(-j*2π*3*4/5) = 2 - 1.538j。
- 当 k=4 时，X[4] 表示第四个非零频率分量，即正弦波的频率为 4/N 的分量，即 X[4] = 2*exp(-j*2π*4*0/5) + 4*exp(-j*2π*4*1/5) + 6*exp(-j*2π*4*2/5) + 4*exp(-j*2π*4*3/5) + 2*exp(-j*2π*4*4/5) = 0。

因此，时间序列 x[n] [2,4,6,4,2] 的频谱为：X[k] = [18/5, -2+1.538j, 0, 2-1.538j, 0]。