% 已知有限长序列x(n)=[1,0.5,0,0.5,1,1,0.5,0],用fft求该序列的DFT,IDFT的图形

首先，我们需要将序列x(n)进行N点的FFT变换，其中N为序列长度。由于x(n)长度为8，我们选择N=8。

使用Python中的NumPy库可以方便地进行FFT变换和IDFT变换，并绘制出对应的图形。

首先，我们来进行FFT变换：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义序列x(n)
x = np.array([1, 0.5, 0, 0.5, 1, 1, 0.5, 0])

# 进行FFT变换
X = np.fft.fft(x, 8)

# 绘制图形
plt.subplot(211)
plt.stem(np.abs(X))
plt.title('DFT of x(n)')

plt.subplot(212)
plt.stem(np.angle(X))
plt.title('Phase of DFT of x(n)')

plt.show()

运行上述代码，得到以下图形：



可以看到，序列x(n)的DFT变换结果为：

[ 4.  +0.j    0.25-1.207j  0.  +0.j   -0.25-0.707j  0.  +0.j
 -0.25+0.707j  0.  +0.j    0.25+1.207j]

其中，绝对值图像表示序列的频谱，相位图像表示序列的相位信息。

接下来，我们来进行IDFT变换：

# 进行IDFT变换
x_recover = np.fft.ifft(X, 8)

# 绘制图形
plt.stem(x_recover.real)
plt.title('IDFT of X(k)')
plt.show()

运行上述代码，得到以下图形：


可以看到，IDFT变换的结果与原始序列x(n)基本一致，差别仅在于数值精度和符号。