(2) 已知一个时间序列x(n) = [2,4, 6,4,2] ，先求其频谱， 再分别取频域采样点数 N 为 3、 5 和 10，用 IFFT 计算并求出其时间序列x(n)

首先，计算时间序列 x(n) 的频谱：

使用离散傅里叶变换（DFT）计算频谱：

$$X(k) = \sum_{n=0}^{N-1} x(n) e^{-j2\pi kn/N}, k=0,1,2,...,N-1$$

其中，N 是时间序列的长度。将时间序列 x(n) 代入上式，得到其频谱 X(k) 如下：

$$X(k) = 2 + 4e^{-j2\pi k/5} + 6e^{-j4\pi k/5} + 4e^{-j6\pi k/5} + 2e^{-j8\pi k/5}, k=0,1,2,...,4$$

将 k 代入上式计算 X(k)，得到频谱如下：

| k | X(k) |
|---|------|
| 0 | 18 |
| 1 | -2+3.08i |
| 2 | -2 |
| 3 | -2-3.08i |
| 4 | -2 |

接下来，分别取频域采样点数 N 为 3、5 和 10，用 IFFT 计算并求出其时间序列 x(n)。

当 N=3 时，对应的频率采样点为 k=0,1,2。使用离散傅里叶逆变换（IDFT）计算时间序列：

$$x(n) = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X(k) e^{j2\pi kn/N}, n=0,1,2$$

将频谱 X(k) 代入上式，得到时间序列 x(n) 如下：

$$x(n) = 2 - 1.5e^{j2\pi n/3} - 0.5e^{-j2\pi n/3}, n=0,1,2$$

当 N=5 时，对应的频率采样点为 k=0,1,2,3,4。使用离散傅里叶逆变换（IDFT）计算时间序列：

$$x(n) = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X(k) e^{j2\pi kn/N}, n=0,1,2,3,4$$

将频谱 X(k) 代入上式，得到时间序列 x(n) 如下：

$$x(n) = 2 + 0.8e^{j2\pi n/5} - 0.4e^{j4\pi n/5} - 0.4e^{-j4\pi n/5} + 0.8e^{-j2\pi n/5}, n=0,1,2,3,4$$

当 N=10 时，对应的频率采样点为 k=0,1,2,...,9。使用离散傅里叶逆变换（IDFT）计算时间序列：

$$x(n) = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X(k) e^{j2\pi kn/N}, n=0,1,2,...,9$$

将频谱 X(k) 代入上式，得到时间序列 x(n) 如下：

$$x(n) = 2 + 0.618e^{j2\pi n/10} - 0.382e^{j4\pi n/10} - 0.382e^{-j4\pi n/10} + 0.618e^{-j2\pi n/10} - 1.236e^{j6\pi n/10} + 1.236e^{-j6\pi n/10} - 0.382e^{j8\pi n/10} - 0.382e^{-j8\pi n/10} + 0.618e^{j2\pi n/10}, n=0,1,2,...,9$$