二分图的最大匹配 匈牙利算法

匈牙利算法是用于求解二分图最大匹配的经典算法之一。它的基本思想是通过不断增广路径来寻找最大匹配。

首先，我们需要明确什么是二分图和匹配。二分图是指顶点可以分为两个互斥的集合，并且边只存在于不同集合之间的图。而匹配则是指图中的一种边的选择，使得任意两条边都没有公共顶点。

下面是匈牙利算法的基本步骤：

1. 初始化一个空的匹配集合，如一个空的字典或数组；
2. 对于左侧的每个顶点，尝试找到一个增广路径来扩展当前的匹配。增广路径可以通过深度优先搜索（DFS）来寻找；
3. 如果找到了增广路径，就将当前路径上的边添加到匹配集合中；
4. 重复步骤 2 和步骤 3，直到无法找到增广路径为止。

匈牙利算法的关键在于如何寻找增广路径。一种常见的方法是使用DFS来搜索增广路径。具体步骤如下：

1. 从左侧的一个未匹配顶点开始，进行DFS搜索；
2. 对于当前顶点，依次遍历与之相连的右侧顶点；
3. 如果右侧顶点未匹配，或者可以通过其他未访问的左侧顶点找到增广路径，就将当前右侧顶点与左侧顶点进行匹配，并返回成功；
4. 如果右侧顶点已经匹配，并且可以通过其他未访问的左侧顶点找到增广路径，就尝试将当前右侧顶点与其匹配的左侧顶点进行DFS搜索；
5. 如果无法找到增广路径，返回失败。

通过不断地寻找增广路径并扩展匹配集合，直到无法找到增广路径为止，最终得到的匹配集合就是二分图的最大匹配。

需要注意的是，匈牙利算法的时间复杂度为O(VE)，其中V表示二分图中左侧顶点的数量，E表示边的数量。

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相关问题

二分图匹配匈牙利算法

匈牙利算法是用于求解二分图的最大匹配的算法。二分图是指一个图中的顶点可以分为两个独立的集合，且每条边都连接两个不同集合中的顶点。匈牙利算法的基本思想是通过增广路径不断扩展当前的匹配，直到找到最大匹配为止。

具体来说，匈牙利算法的步骤如下：
1. 初始化一个空的匹配集合。
2. 对于图中的每个顶点，尝试找到一个增广路径。
3. 如果找到增广路径，则将该路径上的边添加到匹配集合中。
4. 重复步骤2和3，直到无法找到增广路径。
5. 返回匹配集合，即为二分图的最大匹配。

请注意，匈牙利算法的时间复杂度为O(V*E)，其中V是顶点的数量，E是边的数量。

二分图的最大匹配算法

二分图的最大匹配算法可以使用匈牙利算法。匈牙利算法是一种用于求解二分图最大匹配的经典算法。在匈牙利算法中，首先需要定义一些概念，如增广路、匹配边、未匹配边、匹配点和未匹配点。匹配边是在二分图中连接两个点集之间的边，其两端都是匹配点。未匹配边是在二分图中连接两个点集之间的边，其中一端是未匹配点，另一端是匹配点。增广路是在二分图中从未匹配点开始，按照未匹配边和匹配边交替的模式找到一个未匹配点结束。通过不断寻找增广路，可以找到最大匹配。

匈牙利算法的时间复杂度为O(VE)，其中V是二分图的顶点数，E是二分图的边数。算法的基本思想是通过不断寻找增广路来增加匹配的边数，直到无法找到增广路为止。具体步骤如下：
1. 初始化一个空的匹配集合。
2. 从未匹配点开始，按照未匹配边和匹配边交替的模式找到一个增广路。
3. 如果找到了增广路，则将匹配集合中的边进行更新，将增广路上的未匹配边变为匹配边，将增广路上的匹配边变为未匹配边。
4. 重复步骤2和步骤3，直到无法找到增广路为止。
5. 返回匹配集合，即为二分图的最大匹配。

需要注意的是，匈牙利算法只适用于二分图，即图的顶点可以被分为两个互不相交的子集，并且图中的每条边所关联的两个顶点分别属于这两个不同的顶点集。

引用\[2\]提供了匈牙利算法的详细介绍和相关概念的定义，可以进一步了解算法的具体实现过程。
#### 引用[.reference_title]
- *1* [算法简介:二分图最大匹配](https://blog.csdn.net/wangdamingll/article/details/105661060)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v91^control_2,239^v3^insert_chatgpt"}} ] [.reference_item]
- *2* *3* [二分图的最大匹配算法](https://blog.csdn.net/tzm18942553857/article/details/81741574)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v91^control_2,239^v3^insert_chatgpt"}} ] [.reference_item]
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