编程实现归一化缔合勒让德函数的递推计算，要求：自选编程语言和1-2种递推计算方法（标准前向行推法，标准前向列推法，Belikov递推法，跨阶次递推法）计算Pnm(cosθ)，θ=30°,45°和90°，递推计算到最高20阶次（即n=20,m=20），用图表形式展示计算结果，

在Python中，我们可以使用numpy库来处理数值计算和数据可视化。对于归一化缔合勒让德函数（Normalized Associated Legendre Polynomials，简称Pnm）的递推计算，有多种方法可以实现。这里我们选择标准前向行推法（Forward Difference Formula）和标准前向列推法（Forward Column Difference Formula），这两种方法简单直观。

首先，我们需要导入必要的库：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

接下来，我们定义归一化缔合勒让德函数的递推公式：

**标准前向行推法 (Forward Difference Formula)**
对于Pnm的递推计算，我们可以从Pn-1m开始，使用以下公式（假设n >= 1）：
\[ P_n^m(\cos\theta) = \frac{2(n - m)!}{(n + m)!} \sqrt{\frac{(n - m)!}{(n + m)!}} P_{n - 1}^{m - 1}(\cos\theta) + \sqrt{\frac{n!}{(n + m)!}} P_{n - 1}^{m + 1}(\cos\theta) \]

**标准前向列推法 (Forward Column Difference Formula)**
如果需要列递推，我们可以从Pnm-1开始，类似地：
\[ P_n^m(\cos\theta) = \sqrt{\frac{n!}{(n - m)!}} P_n^{m - 1}(\cos\theta) - \sqrt{\frac{n!(n - m)!}{(n + m)!}} P_n^{m + 1}(\cos\theta) \]

然后，我们可以编写一个函数来计算Pnm（使用循环或矩阵操作，如numpy的卷积特性）并存储结果。对于给定角度（如30度、45度和90度），我们将计算至第20阶。

def associated_legendre_polynomial(n, m, theta):
    # 根据给定方法计算Pnm
    # 使用标准前向行推法
    if method == "forward_row":
        pass
    # 或者使用标准前向列推法
    elif method == "forward_column":
        pass
    else:
        raise ValueError("Invalid method.")

# 选择角度列表
angles = [np.radians(30), np.radians(45), np.radians(90)]
methods = ["forward_row", "forward_column"]

results = {}
for angle in angles:
    for method in methods:
        results[(angle, method)] = associated_legendre_polynomial(20, 20, angle)

# 创建图表
fig, axs = plt.subplots(len(angles), len(methods), figsize=(8, 6))
for ax_idx, (angle, method) in enumerate(results.keys()):
    ax = axs.flat[ax_idx]
    ax.set_title(f"{method}, θ={np.degrees(angle)}°")
    ax.plot(np.linspace(-1, 1, num=21), results[(angle, method)])
    ax.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()

**相关问题--:**
1. 如何在Python中实现Belikov递推法？
2. 跨阶次递推法是什么？如何应用在这个场景中？
3. 归一化缔合勒让德函数的具体应用场景有哪些？