最长公共子序列定义及其算法步骤
时间: 2023-08-20 22:15:00 浏览: 56
最长公共子序列(Longest Common Subsequence)是指在两个序列中能够找到的最长的公共子序列(可以不连续)的长度。下面是最长公共子序列算法的步骤:
1. 创建一个二维数组 dp,其大小为 (m+1) * (n+1),其中 m 和 n 分别为两个序列的长度。dp[i][j] 表示序列 1 的前 i 个元素和序列 2 的前 j 个元素之间的最长公共子序列的长度。
2. 初始化 dp 的第一行和第一列为 0,即当一个序列为空时,最长公共子序列的长度为 0。
3. 从第一个元素开始,依次遍历两个序列中的每个元素。
4. 如果两个元素相等(即 sequence1[i-1] == sequence2[j-1]),则最长公共子序列的长度可以在已知的最长公共子序列的基础上加上这个相等的元素,即 dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1。
5. 如果两个元素不相等,则最长公共子序列的长度要么是在 sequence1 的前 i-1 个元素和 sequence2 的前 j 个元素之间,要么是在 sequence1 的前 i 个元素和 sequence2 的前 j-1 个元素之间,取两者中较大的一个,即 dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])。
6. 遍历完两个序列后,dp[m][n] 即为最长公共子序列的长度。
最长公共子序列算法的时间复杂度为 O(m*n),其中 m 和 n 分别为两个序列的长度。
相关问题
最长公共子序列动态规划算法
最长公共子序列(Longest Common Subsequence,简称 LCS)是指两个或多个字符串中最长的公共子序列。动态规划算法是求解 LCS 问题的一种有效方法。
具体来说,对于两个字符串 S1 和 S2,定义一个二维数组 dp,其中 dp[i][j] 表示 S1 的前 i 个字符和 S2 的前 j 个字符的最长公共子序列长度。则有以下递推公式:
- 当 S1[i-1] = S2[j-1] 时,dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
- 当 S1[i-1] != S2[j-1] 时,dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])。
其中,第一种情况表示当前两个字符相同,所以最长公共子序列长度加一;第二种情况表示当前两个字符不同,所以最长公共子序列长度不变,需要在 dp[i-1][j] 和 dp[i][j-1] 中取最大值。
最后,dp[m][n] 就是 S1 和 S2 的最长公共子序列长度,其中 m 和 n 分别为 S1 和 S2 的长度。
可以使用两个指针 i 和 j,从 dp[m][n] 开始,根据 dp 数组的值逆推出最长公共子序列。具体来说,如果 S1[i-1] = S2[j-1],则该字符属于最长公共子序列,将其加入结果序列,并向左上方移动指针;否则,如果 dp[i-1][j] > dp[i][j-1],则向上移动指针;如果 dp[i-1][j] < dp[i][j-1],则向左移动指针。重复以上步骤,直到指针移动到 dp[0][0] 位置,即找到了最长公共子序列。
最长公共子序列问题的算法分析
最长公共子序列问题是指:给定两个序列,找到它们之间最长的公共子序列。这里的子序列指的是不一定连续但是顺序不变的序列。例如,序列“abcde”和“ace”的最长公共子序列是“ace”,长度为3。
动态规划是解决最长公共子序列问题的常用方法。具体步骤如下:
1. 定义状态:设f[i][j]表示序列A的前i个元素和序列B的前j个元素的最长公共子序列的长度。
2. 初始化状态:f[j]和f[i]均为0,因为其中一个序列为空时,它们的最长公共子序列长度为0。
3. 状态转移方程:当A[i]等于B[j]时,f[i][j] = f[i-1][j-1] + 1;否则,f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i][j-1])。
4. 最终结果:f[m][n]即为序列A和序列B的最长公共子序列的长度,其中m和n分别为序列A和序列B的长度。
下面是一个Python实现的例子:
```python
def lcs(X, Y):
m = len(X)
n = len(Y)
# 初始化状态矩阵
L = [[0] * (n + 1) for i in range(m + 1)]
# 填充状态矩阵
for i in range(1, m + 1):
for j in range(1, n + 1):
if X[i - 1] == Y[j - 1]:
L[i][j] = L[i - 1][j - 1] + 1
else:
L[i][j] = max(L[i - 1][j], L[i][j - 1])
# 返回最长公共子序列的长度
return L[m][n]
```