\[\beta ||{Z^v} - Z||_F^2 + \gamma ||Z|{|_1}\]中对Z求导是什么
时间: 2023-08-21 12:12:29 浏览: 45
对于给定的优化问题,我们可以计算出关于变量Z的导数。首先,我们来求解 \(\beta ||{Z^v} - Z||_F^2\) 这一项对Z的导数。
根据矩阵范数的定义,\(\|A\|_F^2 = \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} a_{ij}^2\),其中A是一个m×n的矩阵。因此,我们可以将 \(\beta ||{Z^v} - Z||_F^2\) 展开为:
\(\beta \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} (z_{ij}^v - z_{ij})^2\)
对于每个元素 \(z_{ij}\),我们可以通过链式法则求导,得到:
\(\frac{\partial}{\partial z_{ij}} (\beta ||{Z^v} - Z||_F^2) = 2\beta (z_{ij}^v - z_{ij})\)
接下来,我们来求解 \(\gamma \|Z\|_1\) 这一项对Z的导数。
根据L1范数的定义,\(\|A\|_1 = \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} |a_{ij}|\),其中A是一个m×n的矩阵。因此,我们可以将 \(\gamma \|Z\|_1\) 展开为:
\(\gamma \sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n} |z_{ij}|\)
对于每个元素 \(z_{ij}\),我们可以将其分为正负两个部分进行讨论:
当 \(z_{ij} > 0\) 时,\(\frac{\partial}{\partial z_{ij}} (\gamma \|Z\|_1) = \gamma\);
当 \(z_{ij} < 0\) 时,\(\frac{\partial}{\partial z_{ij}} (\gamma \|Z\|_1) = -\gamma\);
当 \(z_{ij} = 0\) 时,\(\frac{\partial}{\partial z_{ij}} (\gamma \|Z\|_1)\) 是一个子梯度,可以取任意值在 \(-\gamma\) 和 \(\gamma\) 之间。
综上所述,对于整个目标函数 \(\beta ||{Z^v} - Z||_F^2 + \gamma \|Z\|_1\) 对Z的导数,我们可以将两部分的导数相加得到最终的结果:
\(\frac{\partial}{\partial z_{ij}} (\beta ||{Z^v} - Z||_F^2 + \gamma \|Z\|_1) = 2\beta (z_{ij}^v - z_{ij}) + \gamma \text{sign}(z_{ij})\),
其中 \(\text{sign}(z_{ij})\) 是 \(z_{ij}\) 的符号函数。