逻辑回归决策边界：在逻辑回归中，决策边界是由模型参数决定的线性边界。逻辑回归通常用于二分类问题，其决策边界是特征空间中将两个类别分开的直线（或超平面）。

在逻辑回归中，决策边界是通过sigmoid函数实现的非线性转换来确定的，而非简单的线性边界。Sigmoid函数将连续的线性预测结果映射到0到1之间，从而形成一种概率形式的决策边界。对于二分类问题，如果sigmoid函数的输出大于某个阈值（如0.5），样本被分类为正类，反之则为负类。这个阈值可以根据训练过程调整，使得不同类别的预测概率界限清晰。由于特征可能不是线性可分的，逻辑回归会通过多项式特征扩展或使用核函数（如径向基函数RBF）来找到最佳的非线性决策边界。

举个例子[^4]:
假设我们有二维输入空间(x1, x2)，逻辑回归模型可以表示为：

\[ P(y=1|x) = \frac{1}{1 + e^{-\theta_0 - \theta_1x_1 - \theta_2x_2}} \]

其中，θ0, θ1, θ2是模型参数，e是自然对数的底数。决策边界由方程 \( \theta_0 + \theta_1x_1 + \theta_2x_2 = 0 \) 定义，但因为sigmoid函数的存在，实际的决策边界可能会非常复杂，超出简单直线的范畴。

相关问题

：采用 scikit-learn 中的 LogisticRegression 逻辑回归模型对非线性数据集进行分类）特征衍生（数据增强）：使用 sklearn 自带 sklearn.preprocessing.PolynomialFeatures 生成指 定阶次的多项式特征，从而得到所有多项式组合成的新特征矩阵，degree 参数使用for循环。 具体内容： （1）数据集：使用 sklearn 自带数据生成器 make_moons 产生两类数据样本，， ）模型建立：在新特征基础上建立逻辑回归二分类模型。 （4）决策边界可视化：绘制决策边界，观察非线性边界的变化

好的，您的问题是如何使用逻辑回归模型对非线性数据集进行分类，并使用 sklearn.preprocessing.PolynomialFeatures 进行特征衍生，最后绘制决策边界？

首先，我们需要导入所需的库和模块：

from sklearn.datasets import make_moons
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.pipeline import Pipeline
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

接下来，我们使用 make_moons 函数生成两类非线性数据样本：

X, y = make_moons(n_samples=100, noise=0.15, random_state=42)

然后，我们使用 PolynomialFeatures 函数对数据进行特征衍生，生成指定阶次的多项式特征：

degrees = [1, 2, 3, 4, 5] # 多项式阶次
for degree in degrees:
    polynomial_features = PolynomialFeatures(degree=degree, include_bias=False)
    logistic_regression = LogisticRegression(max_iter=1000)
    pipeline = Pipeline([("polynomial_features", polynomial_features),
                         ("logistic_regression", logistic_regression)])
    pipeline.fit(X, y)
    score = pipeline.score(X, y)
    plt.figure(figsize=(6, 4))
    plt.title("Degree = {}\nAccuracy = {:.2f}".format(degree, score))
    plt.xlabel("$x_1$")
    plt.ylabel("$x_2$")
    plt.xlim(-1.5, 2.5)
    plt.ylim(-1, 1.5)
    plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y, cmap=plt.cm.RdBu, edgecolor="black")
    xx, yy = np.meshgrid(np.linspace(-1.5, 2.5, 1000), np.linspace(-1, 1.5, 1000))
    Z = pipeline.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
    Z = Z.reshape(xx.shape)
    plt.contour(xx, yy, Z, levels=[0.5], colors="green")
    plt.show()

对于每个阶次的多项式特征，我们都建立了一个 Pipeline，其中包含 PolynomialFeatures 和 LogisticRegression 两个步骤。然后，我们使用 Pipeline.fit 函数拟合模型，并使用 Pipeline.score 函数计算模型的准确率。最后，我们绘制样本点和决策边界。

结果如下图所示，可以看出，随着多项式特征阶次的增加，决策边界变得更加复杂，但也更容易出现过拟合的情况。


采用 scikit-learn 中的 LogisticRegression 逻辑回归模型对非线性数据集进行分类。 具体内容： （1）数据集：使用 sklearn 自带数据生成器 make_moons 产生两类数据样本，特征衍生（数据增强）：使用 sklearn 自带 sklearn.preprocessing.PolynomialFeatures 生成指 定阶次的多项式特征，从而得到所有多项式组合成的新特征矩阵，degree 参数任选。）模型建立：在新特征基础上建立逻辑回归二分类模型。 （4）决策边界可视化：绘制决策边界，观察非线性边界的变化。

好的，我可以为您解答这个问题。首先，我们需要导入必要的库和数据集。您可以使用以下代码：

from sklearn.datasets import make_moons
from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# 生成数据集
X, y = make_moons(n_samples=500, noise=0.3, random_state=42)

# 特征衍生
poly_features = PolynomialFeatures(degree=3, include_bias=False)
X_poly = poly_features.fit_transform(X)

接下来，我们可以将数据集分为训练集和测试集，并训练逻辑回归模型。您可以使用以下代码：

# 将数据集分为训练集和测试集
from sklearn.model_selection import train_test_split
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X_poly, y, random_state=42)

# 训练逻辑回归模型
log_reg = LogisticRegression(solver='lbfgs')
log_reg.fit(X_train, y_train)

# 在测试集上进行预测
y_pred = log_reg.predict(X_test)

# 计算准确率
from sklearn.metrics import accuracy_score
accuracy = accuracy_score(y_test, y_pred)
print("Accuracy:", accuracy)

最后，我们可以绘制决策边界来观察非线性边界的变化。您可以使用以下代码：

# 绘制决策边界
x1_min, x1_max = X[:, 0].min() - 1, X[:, 0].max() + 1
x2_min, x2_max = X[:, 1].min() - 1, X[:, 1].max() + 1
xx1, xx2 = np.meshgrid(np.linspace(x1_min, x1_max, 1000),
                       np.linspace(x2_min, x2_max, 1000))
X_new = np.c_[xx1.ravel(), xx2.ravel()]
X_new_poly = poly_features.transform(X_new)
y_proba = log_reg.predict_proba(X_new_poly)[:, 1]
zz = y_proba.reshape(xx1.shape)

plt.contourf(xx1, xx2, zz, cmap=plt.cm.RdBu)
plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y, cmap=plt.cm.RdBu_r)
plt.xlabel("Feature 1")
plt.ylabel("Feature 2")
plt.show()

运行代码后，您将看到绘制的决策边界。您可以尝试不同的多项式阶次来观察决策边界的变化。