最小生成树代价唯一是什么意思

最小生成树代价唯一是指在一个无向加权图中，存在且只存在一棵树，它连接了所有顶点，使得这棵树的所有边的总权重之和达到最小。换句话说，如果我们从图中选择一条边连接两个节点，并不断重复这个过程，直到所有的节点都被连接起来形成一棵树，那么无论我们如何做出这样的选择，最后形成的树一定是相同的，并且它的边权之和是最小的。这就是著名的Kruskal算法或Prim算法找到的结果，它们都是求解最小生成树的经典算法。

相关问题

最小生成树的唯一性问题

### 关于最小生成树唯一性的理论知识

#### 最小生成树定义及其性质
对于带权无向连通图 \( G=(V,E) \)，\( G \) 的所有生成树当中边的权值之和最小的生成树称为 \( G \) 的最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）。需要注意的是，最小生成树不一定唯一；也就是说，可能存在多棵不同的最小生成树具有相同的总权重[^2]。

#### 最小生成树唯一性条件
如果带权无向连通图中的每条边都拥有独一无二的权重，则该图存在唯一的最小生成树。这是因为，在构建过程中每次选取当前未加入到生成树集合中且权重最低的一条边时，由于不存在两条相同权重的候选边可供选择，因此最终形成的最小生成树结构必然固定不变。

另外一种情况是当给定图形恰好含有 \( |V|-1 \) 条边的时候，此时也只有一种方式形成一棵连接全部顶点而不构成回路的子图，即为唯一的最小生成树。

#### 非唯一情况下证明思路概述
假设在一个加权无向图中有两颗不同形态但同样满足最小代价要求的生成树 T1 和 T2 。那么在这两个解之间必定至少有一条公共路径 P ，因为它们都是覆盖整个顶点集 V 的连通组件。考虑沿着这条共享路径逐步替换非共有的部分直到两者完全一致为止：

- 如果在整个转换过程里始终保持着新的中间状态仍然是合法的生成树，并且保持了原有的最优成本特性；
- 或者能够找到某个时刻违反上述任一前提，则可以得出结论说原假设有误——实际上并不存在两种独立又同等优秀的解决方案。

然而值得注意的是，以上讨论仅适用于理想状况下的理论分析框架内有效。实际应用环境中可能会遇到更多复杂因素影响具体实例的表现形式。

def is_unique_mst(graph):
    """
    判断一个有权重的无向连通图是否存在唯一的最小生成树
    
    参数:
        graph (dict): 图的数据结构表示 {node: [(adjacent_node, weight)]}
        
    返回:
        bool: 是否有唯一MST
    """
    
    # 获取所有的边以及对应的权重
    edges = []
    for u in graph:
        for v, w in graph[u]:
            if u < v:  # 只记录一次双向边
                edges.append((w, u, v))
                
    sorted_edges = sorted(edges)

    unique_weights = all(sorted_edges[i][0]!=sorted_edges[i+1][0] 
                        for i in range(len(sorted_edges)-1))

    num_vertices = len(graph)
    exact_num_of_edges = len(edges)==num_vertices-1 

    return unique_weights or exact_num_of_edges

用克鲁斯卡尔算法得到最小生成树代价

克鲁斯卡尔算法是一种用于求解最小生成树问题的贪心算法。它的基本思想是从图中的边集合中选择权值最小的边，并且保证选择的边不会构成环，直到选择了n-1条边为止，其中n是图中顶点的个数。下面是使用克鲁斯卡尔算法求解最小生成树代价的步骤：

1. 将图中的边按照权值从小到大进行排序。
2. 创建一个空的集合，用于存放最小生成树的边。
3. 遍历排序后的边集合，依次选择权值最小的边。
4. 判断选择的边是否会构成环，如果不会构成环，则将该边加入最小生成树的边集合中。
5. 重复步骤4，直到最小生成树的边集合中包含了n-1条边。

根据提供的引用，我们可以得到以下边集合和权值：

边集合：[(v1, v3, 1), (v4, v6, 2), (v2, v5, 3), (v3, v6, 4), (v1, v4, 5), (v2, v3, 5), (v3, v4, 5), (v2, v5, 6), (v3, v5, 6), (v1, v2, 6)]
权值：[1, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6]

因此，使用克鲁斯卡尔算法得到的最小生成树代价为1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 5 + 5 + 6 + 6 + 6 = 43。