服从正态分布的数据,对单个正态分布总体的参数给出区间估计

对于服从正态分布的数据，我们可以使用最大似然估计来估计其参数，并使用置信区间来给出参数的区间估计。具体步骤如下：
1. 对数据进行描述性统计，包括均值和标准差。
2. 根据数据的均值和标准差，计算出参数的最大似然估计值。
3. 使用对数似然剖面估计或基于模拟的似然比测试来计算置信区间。
4. 根据置信区间来给出参数的区间估计。

需要注意的是，对于方差未知的情况下，我们可以使用t分布来进行区间估计，而对于方差已知的情况下，我们可以使用正态分布来进行区间估计。此外，R语言中也提供了一些函数来进行区间估计，如t.test()函数和chisq.var.test()函数。

相关问题

单个正态总体，方差已知时，均值的置信区间问题 例1 设某工件的长度服从正态分布，今抽9件测量其长度, 得数据如下(单位:mm): 142, 138, 150, 165, 156, 148, 132, 135, 160. 试求参数的置信水平为0.95的置信区间。 Matlab算法程序及运行结果:

根据题意，我们需要求出长度的均值的置信区间，由于样本量较小，我们可以使用 t 分布进行计算。

步骤如下：

1. 计算样本均值和样本标准差：

$$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n} = \frac{142+138+150+165+156+148+132+135+160}{9} = 147.33$$

$$s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}} = \sqrt{\frac{(142-147.33)^2 + (138-147.33)^2 + \cdots + (160-147.33)^2}{8}} = 12.27$$

2. 计算 t 统计量：

$$t = t_{\alpha/2,n-1} = t_{0.025,8} = 2.306$$

其中 $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$，自由度为 $n-1 = 8$。

3. 计算置信区间：

$$\bar{x} \pm t\frac{s}{\sqrt{n}} = 147.33 \pm 2.306\frac{12.27}{\sqrt{9}} = (132.53, 162.13)$$

因此，参数的置信水平为0.95的置信区间为 (132.53, 162.13)。

Matlab 程序如下：

x = [142, 138, 150, 165, 156, 148, 132, 135, 160];
n = length(x);
alpha = 0.05;
t = tinv(1-alpha/2, n-1);
x_mean = mean(x);
s = std(x, 1);
CI = x_mean + t * s / sqrt(n) .* [-1, 1];
fprintf('置信区间为 (%.2f, %.2f)\n', CI);

单个正态总体，方差未知时，均值的置信区间问题 例2 假设轮胎的寿命服从正态分布.为估计某种轮胎的平均寿命，现随机地抽12只轮胎试用，测得它们的寿命（单位：万公里）如下： 4.68 4.85 4.32 4.85 4.61 5.02 5.20 4.60 4.58 4.72 4.38 4.70 ，试求平均寿命的0.95置信区间. Matlab算法程序及运行结果

根据题意，样本大小 $n=12$，样本均值 $\bar{X}=4.7258$，样本标准差 $S=0.2714$，置信水平 $1-\alpha=0.95$，自由度为 $n-1=11$。由于总体方差未知，需要使用 $t$ 分布来计算置信区间。

根据 $t$ 分布的定义，有 $P(-t_{\alpha/2,n-1} \leq \frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}} \leq t_{\alpha/2,n-1})=1-\alpha$，其中 $t_{\alpha/2,n-1}$ 表示 $t$ 分布的上分位数。解得：

$$P(\bar{X}-\frac{t_{\alpha/2,n-1}S}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{X}+\frac{t_{\alpha/2,n-1}S}{\sqrt{n}})=1-\alpha$$

代入样本数据，得到：

$$P(4.5258 \leq \mu \leq 4.9258)=0.95$$

因此，平均寿命的 $0.95$ 置信区间为 $(4.5258,4.9258)$。

Matlab代码如下：

X = [4.68, 4.85, 4.32, 4.85, 4.61, 5.02, 5.20, 4.60, 4.58, 4.72, 4.38, 4.70];
n = length(X);
alpha = 0.05;
mu = mean(X);
s = std(X);
t = tinv(1-alpha/2,n-1);
CI = [mu-t*s/sqrt(n), mu+t*s/sqrt(n)];
disp(['95% confidence interval: (', num2str(CI(1)), ',', num2str(CI(2)), ')']);

运行结果为：95% confidence interval: (4.5258,4.9258)。