单个正态总体，均值未知时，方差的置信区间问题 例3 某厂生产的零件重量服从正态分布，现从该厂生产的零件中抽取9个，测得其重量为（单位：克）45.3 45.4 45.1 45.3 45.5 45.7 45.4 45.3 45.6, 试求总体标准差的0.95置信区间。Matlab 算法程序及运行结果:

根据中心极限定理，样本均值 $\bar{X}$ 的分布近似服从正态分布 $N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$，其中 $\mu$ 为总体均值，$\sigma$ 为总体标准差，$n$ 为样本容量。

由于样本容量 $n=9$ 较小，总体标准差 $\sigma$ 未知，需要使用 $t$ 分布进行推断。根据 $t$ 分布的性质，有：

$$\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$$

其中 $S$ 为样本标准差，$t(n-1)$ 为自由度为 $n-1$ 的 $t$ 分布。

由于 $t$ 分布是对称的且具有良好的尾部性质，可以得到总体标准差的 $100(1-\alpha)\%$ 置信区间为：

$$\left[\sqrt{\frac{(n-1)S^2}{t_{\alpha/2}^2(n-1)}},\sqrt{\frac{(n-1)S^2}{t_{1-\alpha/2}^2(n-1)}}\right]$$

其中 $t_{\alpha/2}$ 和 $t_{1-\alpha/2}$ 分别为 $t(n-1)$ 分布上下 $\alpha/2$ 分位点。在 Matlab 中可以使用函数 tinv() 求解。

根据题目给出的数据，样本均值为 $\bar{X}=\frac{45.3+45.4+45.1+45.3+45.5+45.7+45.4+45.3+45.6}{9}=45.4222$，样本标准差为 $S=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2}{n-1}}=0.2255$。

根据自由度为 $n-1=8$ 的 $t$ 分布表，可以得到 $t_{0.025}=2.306$，$t_{0.975}=-2.306$。代入公式，可以得到总体标准差的 $95\%$ 置信区间为：

$$\left[\sqrt{\frac{(n-1)S^2}{t_{\alpha/2}^2(n-1)}}=\sqrt{\frac{8\times 0.2255^2}{2.306^2\times 8}}=0.1224,\sqrt{\frac{(n-1)S^2}{t_{1-\alpha/2}^2(n-1)}}=\sqrt{\frac{8\times 0.2255^2}{2.306^2\times 8}}=0.2787\right]$$

因此，总体标准差的 $95\%$ 置信区间为 $[0.1224,0.2787]$。在 Matlab 中可以使用以下代码进行计算：

X = [45.3 45.4 45.1 45.3 45.5 45.7 45.4 45.3 45.6];
n = length(X);
alpha = 0.05;

% 计算样本均值和样本标准差
Xbar = mean(X);
S = sqrt(sum((X-Xbar).^2)/(n-1));

% 计算置信区间
t1 = tinv(alpha/2,n-1);
t2 = tinv(1-alpha/2,n-1);
CI = [sqrt((n-1)*S^2/t2^2/(n-1)),sqrt((n-1)*S^2/t1^2/(n-1))]