单个正态总体，方差已知时，均值的置信区间问题 例1 设某工件的长度服从正态分布，今抽9件测量其长度, 得数据如下(单位:mm): 142, 138, 150, 165, 156, 148, 132, 135, 160. 试求参数的置信水平为0.95的置信区间。 Matlab算法程序及运行结果:

根据题意，我们需要求出长度的均值的置信区间，由于样本量较小，我们可以使用 t 分布进行计算。

步骤如下：

1. 计算样本均值和样本标准差：

$$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n} = \frac{142+138+150+165+156+148+132+135+160}{9} = 147.33$$

$$s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}} = \sqrt{\frac{(142-147.33)^2 + (138-147.33)^2 + \cdots + (160-147.33)^2}{8}} = 12.27$$

2. 计算 t 统计量：

$$t = t_{\alpha/2,n-1} = t_{0.025,8} = 2.306$$

其中 $\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$，自由度为 $n-1 = 8$。

3. 计算置信区间：

$$\bar{x} \pm t\frac{s}{\sqrt{n}} = 147.33 \pm 2.306\frac{12.27}{\sqrt{9}} = (132.53, 162.13)$$

因此，参数的置信水平为0.95的置信区间为 (132.53, 162.13)。

Matlab 程序如下：

x = [142, 138, 150, 165, 156, 148, 132, 135, 160];
n = length(x);
alpha = 0.05;
t = tinv(1-alpha/2, n-1);
x_mean = mean(x);
s = std(x, 1);
CI = x_mean + t * s / sqrt(n) .* [-1, 1];
fprintf('置信区间为 (%.2f, %.2f)\n', CI);