单个正态总体，方差已知时，均值的置信区间问题的算例及Matlab程序

假设我们有一个正态分布的总体，其方差已知为 $\sigma^2$，我们想要求出其均值 $\mu$ 的置信区间。假设我们从总体中随机抽取 $n$ 个样本，样本均值为 $\bar{x}$。那么，$\bar{x}$ 的标准差为 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。

根据中心极限定理，$\bar{x}$ 的分布近似于正态分布，均值为 $\mu$，标准差为 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。因此，我们可以使用标准正态分布的分位数来估计 $\mu$ 的置信区间。

假设我们希望置信水平为 $1-\alpha$，则可得到置信区间为：

$$\bar{x} \pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

其中 $z_{\alpha/2}$ 为标准正态分布的 $\alpha/2$ 分位数。可以使用 Matlab 计算出 $z_{\alpha/2}$：

alpha = 0.05; % 置信水平为 95%
z_alpha_2 = norminv(1-alpha/2, 0, 1); % 计算标准正态分布的 alpha/2 分位数

假设我们有一个样本数据如下：

x = [2.5, 3.1, 2.6, 2.9, 3.0, 2.8, 3.2, 2.7, 2.8, 2.9];

我们可以计算出样本均值和样本标准差：

n = length(x);
sigma = 0.2; % 假设总体方差已知为 0.2
x_bar = mean(x);
s = std(x);

然后，我们可以计算出均值的置信区间：

ci_low = x_bar - z_alpha_2 * sigma / sqrt(n);
ci_up = x_bar + z_alpha_2 * sigma / sqrt(n);

最后，我们可以输出结果：

fprintf('置信区间为 (%.2f, %.2f)\n', ci_low, ci_up);

完整的 Matlab 程序如下：

% 假设总体方差已知为 0.2
sigma = 0.2;

% 样本数据
x = [2.5, 3.1, 2.6, 2.9, 3.0, 2.8, 3.2, 2.7, 2.8, 2.9];

% 样本大小
n = length(x);

% 计算样本均值和样本标准差
x_bar = mean(x);
s = std(x);

% 计算置信水平为 95% 的置信区间
alpha = 0.05;
z_alpha_2 = norminv(1-alpha/2, 0, 1);
ci_low = x_bar - z_alpha_2 * sigma / sqrt(n);
ci_up = x_bar + z_alpha_2 * sigma / sqrt(n);

% 输出结果
fprintf('置信区间为 (%.2f, %.2f)\n', ci_low, ci_up);

希望对你有所帮助！