单个正态总体，方差未知时，均值的置信区间问题 例2 假设轮胎的寿命服从正态分布.为估计某种轮胎的平均寿命，现随机地抽12只轮胎试用，测得它们的寿命（单位：万公里）如下： 4.68 4.85 4.32 4.85 4.61 5.02 5.20 4.60 4.58 4.72 4.38 4.70 ，试求平均寿命的0.95置信区间. Matlab算法程序及运行结果

根据题意，样本大小 $n=12$，样本均值 $\bar{X}=4.7258$，样本标准差 $S=0.2714$，置信水平 $1-\alpha=0.95$，自由度为 $n-1=11$。由于总体方差未知，需要使用 $t$ 分布来计算置信区间。

根据 $t$ 分布的定义，有 $P(-t_{\alpha/2,n-1} \leq \frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}} \leq t_{\alpha/2,n-1})=1-\alpha$，其中 $t_{\alpha/2,n-1}$ 表示 $t$ 分布的上分位数。解得：

$$P(\bar{X}-\frac{t_{\alpha/2,n-1}S}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{X}+\frac{t_{\alpha/2,n-1}S}{\sqrt{n}})=1-\alpha$$

代入样本数据，得到：

$$P(4.5258 \leq \mu \leq 4.9258)=0.95$$

因此，平均寿命的 $0.95$ 置信区间为 $(4.5258,4.9258)$。

Matlab代码如下：

X = [4.68, 4.85, 4.32, 4.85, 4.61, 5.02, 5.20, 4.60, 4.58, 4.72, 4.38, 4.70];
n = length(X);
alpha = 0.05;
mu = mean(X);
s = std(X);
t = tinv(1-alpha/2,n-1);
CI = [mu-t*s/sqrt(n), mu+t*s/sqrt(n)];
disp(['95% confidence interval: (', num2str(CI(1)), ',', num2str(CI(2)), ')']);

运行结果为：95% confidence interval: (4.5258,4.9258)。