y=||x||2的梯度
时间: 2023-08-12 18:07:15 浏览: 42
对于函数 y = ||x||^2,其中 x 是一个向量,我们可以使用链式法则来计算其梯度。
首先,我们将 ||x||^2 展开为内积的形式:
y = x^T · x
然后,我们可以将其分解为两个部分,并对每个部分计算梯度:
y = x^T · x = ∑(x_i)^2
对于第一个部分,即 (x_i)^2,我们可以直接计算其梯度:
∂((x_i)^2) / ∂x_i = 2x_i
对于第二个部分,即 ∑(x_i)^2,我们需要将其求和到每个维度上:
∂(∑(x_i)^2) / ∂x_i = 2x_i
所以最终的梯度向量为:
∇y = [2x_1, 2x_2, ..., 2x_n]
其中,n 是向量 x 的维度。
相关问题
|𝑤𝑛−𝑤(𝑛−1)|=|𝑙𝑟⋅∇𝑤𝑓(𝑤(𝑛−1))|
根据引用,可以得知散度的定义为:div(v)=∇⋅v=P x +Q y +R z。其中,∇表示梯度算子,P、Q、R分别表示v在x、y、z方向上的偏导数。因此,|𝑙𝑟⋅∇𝑤𝑓(𝑤(𝑛−1))|表示梯度向量的模长,|𝑤𝑛−𝑤(𝑛−1)|表示两个迭代点之间的距离。这个式子的意义是:如果梯度向量的模长很小,那么两个迭代点之间的距离也应该很小,反之亦然。
根据引用,可以得知∣∣Y−HX∣∣2表示真实值Y与预测值HX之间的误差平方和。其中,Y和X分别表示真实值和特征矩阵,H表示模型参数。这个式子的意义是:通过最小化误差平方和来优化模型参数,使得预测值HX更接近真实值Y。
综上所述,|𝑤𝑛−𝑤(𝑛−1)|=|𝑙𝑟⋅∇𝑤𝑓(𝑤(𝑛−1))|的意义是:在优化算法中,如果梯度向量的模长很小,那么两个迭代点之间的距离也应该很小,反之亦然。这个式子可以用来判断优化算法是否收敛。
求函数y=x的二范数的梯度?
函数 $y=x$ 的二范数为 $||y||_2 = \sqrt{y^2} = \sqrt{x^2}$。
梯度是指函数在每个自变量方向上的偏导数构成的向量,因此需要对 $||y||_2$ 对 $x$ 求偏导数,即:
$$
\frac{\partial ||y||_2}{\partial x}=\frac{\partial \sqrt{x^2}}{\partial x}=\frac{1}{2\sqrt{x^2}}\cdot 2x=\frac{x}{||y||_2}
$$
因此,函数 $y=x$ 的二范数的梯度为 $\nabla ||y||_2 = \begin{pmatrix} \frac{\partial ||y||_2}{\partial x} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{x}{||y||_2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{x}{\sqrt{x^2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ \end{pmatrix}$。
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