给定若干个正整数a0、a1 、...、an-1,从中选出若干数,使它们的和恰好为k, 要求找

当给定若干个正整数a0、a1、...、an-1时，我们可以使用动态规划的方法来找出和为k的数。

首先，我们定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示从前i个正整数中选取若干个数，使其和为j的情况数。

然后，我们初始化dp数组。当只有一个正整数a0时，若a0等于k，则dp[0][k]为1，否则dp[0][k]为0。

接下来，我们根据动态规划的转移方程进行计算。对于正整数ai，对于j大于等于ai，有两种情况：
1. 不选择ai，则此时的情况数为dp[i-1][j]；
2. 选择ai，则此时的情况数为dp[i-1][j-ai]。

因此，dp[i][j]应为以上两种情况的和。

最后，只需返回dp[n-1][k]的值即可，即从n个正整数中选取若干个数，使其和为k的情况数。

注意：以上方法只能找出情况数，不能直接找到具体的数。

以上是一个解法的大致思路，具体实现过程中还可以进行一些优化，例如使用一维数组代替二维数组，节省空间复杂度。实际解决问题时，还需要考虑边界条件和输入数据的合法性。

相关问题

给定若干个正整数a0、a1、...、an-1，从中选出若干个数，使它们的和恰好为k，要求找出选择元素个数最少的解。

### 回答1：
题目描述：

给定若干个正整数a0、a1、...、an-1，从中选出若干个数，使它们的和恰好为k，要求找出选择元素个数最少的解。

解题思路：

这是一道典型的背包问题，可以使用动态规划来解决。

定义状态：dp[i][j]表示前i个数中选出若干个数，使它们的和恰好为j时，选择元素个数的最小值。

状态转移方程：dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i-1][j-ai]+1)，其中ai表示第i个数的值。

初始状态：dp[0][0] = 0，dp[0][j] = INF，dp[i][0] = 0。

最终答案：dp[n][k]，其中n为给定正整数的个数，k为目标和。

代码实现：

### 回答2：
这是一个典型的0/1背包问题，可以用动态规划的思想求解。

首先定义状态：dp[i][j]表示考虑前i个数，是否能够选出若干个数，使它们的和恰好为j。

转移方程：dp[i][j] = dp[i-1][j] || dp[i-1][j-a[i]] （其中a[i]表示第i个数的值）

解释：dp[i][j]可以由两种选择得到，一种是不选第i个数，那么dp[i][j]就等于dp[i-1][j]；另一种是选第i个数，那么dp[i][j]就等于dp[i-1][j-a[i]]。

边界条件：当j=0时，dp[i][j]=1，表示任何时候都可以选出0个数使它们的和恰好为0；当i=0时，dp[i][j]=0，表示没有任何数可以选。

最终的答案为：选出元素个数最少的解，可以从dp[n][k],dp[n-1][k],dp[n-2][k],...,dp[0][k]中选出dp[i][k]=1的最小的i。

时间复杂度为O(nk)，空间复杂度为O(nk)。可以通过优化空间复杂度，将空间复杂度优化为O(k)。具体做法是：将二维数组dp[i][j]转化为一维数组dp[j],逆序遍历a数组，然后正序遍历背包容量，将dp[j-a[i]]的值更新到dp[j]中。这样，每次更新dp数组时，只用到了上一次循环的结果，空间复杂度得到了优化。

### 回答3：
这是一个典型的背包问题，可以用动态规划的思想来解决。

设 $dp[i][j]$ 表示在前 $i$ 个正整数中选数，使它们的和恰好为 $j$ 的最小个数。则有以下状态转移方程:

当 $j<a_i$ 时，我们不能选择 $a_i$。此时 $dp[i][j]=dp[i-1][j]$。

当 $j \geq a_i$ 时，我们有两种选择：

- 选 $a_i$ ：此时 $dp[i][j]=dp[i-1][j-a_i]+1$。
- 不选 $a_i$ ：此时 $dp[i][j]=dp[i-1][j]$。

综上所述，状态转移方程为：

$$dp[i][j]=\begin{cases} 0 & j=0 \\ dp[i-1][j] & j<a_i \\ \min\{dp[i-1][j],dp[i-1][j-a_i]+1\} & j\geq a_i \end{cases} $$

最终要求的是选出元素个数最少的解，因此只需要从 $dp[n][k],dp[n][k-1],\dots,dp[n][0]$ 中找到第一个不为 $\infty$ 的值即可。

时间复杂度为 $O(nk)$，可以通过。

给定若干个正整数a0、a1、….、an-1，从中选出若干个数，使它们的和恰好为k，要求找出选择元素个数最少的解

可以使用动态规划来解决这个问题。假设dp[i][j]表示在前i个数中选出若干个数，使它们的和恰好为j所需要选择的元素个数。则有以下状态转移方程：

（1）不选第i个数：dp[i][j] = dp[i-1][j]

（2）选第i个数：dp[i][j] = dp[i-1][j-ai] + 1

其中ai表示第i个数的值。如果选第i个数，则需要在前i-1个数中选出若干个数，使它们的和恰好为j-ai，此时需要选择元素个数为dp[i-1][j-ai]，再加上选第i个数本身，即1。

最终的答案即为dp[n][k]。如果dp[n][k]为正无穷，则表示无法选出若干个数使它们的和恰好为k。

代码实现如下（时间复杂度为O(nk)）：

int dp[MAXN][MAXK];

int main() {
int n, k;
scanf("%d%d", &n, &k);
memset(dp, INF, sizeof(dp));
dp[0][0] = 0;
for(int i=1; i<=n; i++) {
int a;
scanf("%d", &a);
for(int j=0; j<=k; j++) {
dp[i][j] = dp[i-1][j];
if(j >= a) dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i-1][j-a]+1);
}
}
if(dp[n][k] == INF) printf("-1\n");
else printf("%d\n", dp[n][k]);
return 0;
}