循环群G={e,g,g^2,g^3,...,g^11}中元素g^4的阶是

对于循环群 $G=\{e,g,g^2,\ldots,g^{11}\}$，其中 $g^4$ 是 $G$ 的一个元素，我们可以通过以下公式计算其阶：

$$
\text{ord}(g^4) = \frac{n}{\gcd(n,k)}
$$

其中，$n=12$ 是循环群 $G$ 的阶，$k=4$ 是 $g^4$ 的指数。因此，我们需要计算 $\gcd(12,4)$：

$$
\begin{aligned}
\gcd(12,4) &= \gcd(2^2\cdot3,2^2) \\
&= 2^2 \\
&= 4
\end{aligned}
$$

接着，我们可以代入公式计算 $g^4$ 的阶：

$$
\begin{aligned}
\text{ord}(g^4) &= \frac{n}{\gcd(n,k)} \\
&= \frac{12}{4} \\
&= 3
\end{aligned}
$$

因此，$g^4$ 的阶为 $3$。

相关问题

9阶循环群G={e,g,g^2,g^3,...,g^8}的所有生成元

我们知道，循环群中只有生成元才能生成整个群。对于9阶循环群G，的生成元必须满足以下条件：

1 生成元必须是G的一个元素；
2 该元素的（order）等于G阶；
3. 该元素的幂（exponent）从1开始一直到G的阶-1时，依次得到G中的所有元素。

根据这些条件，我们可以列出G中所有的生成元：

1. g：由于G是循环群，所以g是一个生成元；
2. g^2：由于(g^2)^4 = g^8 = e，所以g^2的阶为4，符合条件2；又因为g^2, g^4, g^6, g^8均为G中的元素，所以g^2也符合条件3；
3. g^3：由于(g^3)^3 = g^9 = g，所以g^3的阶为3，符合条件2；又因为g^3, g^6, g^9=e, 所以g^3也符合条件3；
4. g^4：由于(g^4)^2 = g^8 = e，所以g^4的阶为2，符合条件2；又因为g^4, g^8=e, 所以g^4也符合条件3；
5. g^5：由于(g^5)^3 = g^15 = g^6，所以g^5的阶为3，符合条件2；又因为g^5, g^6, g^8, g^3都是G中的元素，所以g^5也符合条件3；
6. g^7：由于(g^7)^2 = g^14 = g^5，所以g^7的阶为2，符合条件2；又因为g^7, g^5, g^8, g^4都是G中的元素，所以g^7也符合条件3。

因此，G中所有的生成元为：g, g^2, g^3, g^4, g^5, g^7。

写出10阶循环群G={e,g,g2,g3,⋯,g9}的所有生成元

10阶循环群G的生成元为g和g^3和g^7和g^9。其中g是任意一个不等于e的元素，它的阶为10。由于G是循环群，所以g的所有幂次构成了G的所有元素。因此，g的幂次为1,2,3,4,5,6,7,8,9时，分别对应G的元素g,g^2,g^3,g^4,g^5,g^6,g^7,g^8,g^9。其中，g^2、g^4、g^6、g^8是g的平方、四次方、六次方和八次方，它们可以用g的幂次来表示。g^5和g^7也可以用g的幂次来表示，具体为g^5=g^4*g和g^7=g^6*g。因此，{g,g^3,g^7,g^9}构成了G的所有生成元。