用动态规划算法求解下面的组合优化问题: max g1(x1)+g2(x2)+g3(x3) x12+X22+X32≤10 X1,X2,X3为非负整数
时间: 2023-06-13 09:02:23 浏览: 121
这是一个组合优化问题,我们可以使用动态规划来解决。首先,我们定义状态 $f(i,j,k)$ 表示在满足约束条件 $i \leq x_1, j \leq x_2, k \leq x_3$ 的情况下,目标函数 $g_1(x_1)g_2(x_2)g_3(x_3)$ 的最大值。其中,$i,j,k$ 分别表示在 $x_1,x_2,x_3$ 上取到的值。
接下来,我们考虑如何计算状态 $f(i,j,k)$。根据定义,我们可以将其表示为:
$$
f(i,j,k) = \max_{\substack{0 \leq i' \leq i \\ 0 \leq j' \leq j \\ 0 \leq k' \leq k \\ i' + j' + k' \leq 10}} f(i',j',k') g_1(i)g_2(j)g_3(k)
$$
其中,$\max$ 表示取所有可行的状态中的最大值。
最后,问题的答案就是 $f(10,10,10)$。这个问题的时间复杂度是 $O(n^4)$,其中 $n=10$ 是问题的规模。由于 $n$ 的取值比较小,所以这个算法可以接受。
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用动态规划算法求解下面的组合优化问题: max g1(x1)+g2(x2)+g3(x3) x12+X22+X32≤10 X1,X2,X3为非负整数其中函数g1(x1),g2(x2) g3(x3)的值给在下表中, (1)要求列出递推关系及初值。 (2)求本例的解及x1,x2,x3值。
首先我们可以将问题转化为求解:
$$\max_{x_1,x_2,x_3} g_1(x_1)g_2(x_2)g_3(x_3)$$
满足约束条件:
$$x_1+x_2+x_3 \leq 10$$
其中,$g_i(x_i)$ 的取值如下表所示:
| $g_i(x_i)$ | $x_i=0$ | $x_i=1$ | $x_i=2$ | $x_i=3$ | $x_i=4$ | $x_i=5$ | $x_i=6$ | $x_i=7$ | $x_i=8$ | $x_i=9$ | $x_i=10$ |
| :-------: | :----: | :----: | :----: | :----: | :----: | :----: | :----: | :----: | :----: | :----: | :-----: |
| $g_1(x_1)$ | 0 | 5 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 |
| $g_2(x_2)$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| $g_3(x_3)$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
我们可以定义状态 $f_{i,j,k}$ 表示前 $i$ 个函数,在 $x_1=j,x_2=k$ 的情况下的最大值。
对于每个状态 $f_{i,j,k}$,它可以从 $f_{i-1,j,k},f_{i,j-1,k},f_{i,j,k-1}$ 转移而来。具体来说,我们可以考虑当前函数 $g_i(x_i)$ 的取值,如果 $g_i(x_i)=0$,那么当前状态的取值也应该为 $0$。否则,我们可以将当前函数的值乘到当前状态上,即:
$$f_{i,j,k}=\max(f_{i,j,k},f_{i-1,j-x_1,k-x_2}\times g_i(x_i))$$
对于初值,我们有:
$$f_{0,0,0}=1$$
由于 $x_1,x_2,x_3$ 取值范围均为 $0\sim 10$,因此最终的答案为:
$$\max_{0\leq j,k,l\leq 10} f_{3,j,k}$$
最后,我们可以使用动态规划算法来实现上述递推关系,求得最优解及对应的 $x_1,x_2,x_3$ 值。
使用最小二乘法实现计算与预测男孩女孩身高模型: 男孩身高模型: a0+a1x1+a2x2=y1 女孩身高模型: b0+b1x1+b2x2=y2
最小二乘法是一种拟合数据的方法,可以用于求解线性回归模型。在本题中,我们需要使用最小二乘法来拟合男孩和女孩身高的线性回归模型。
首先,我们需要收集一些男孩和女孩身高的数据,包括身高(y)、年龄(x1)和体重(x2)。我们可以将这些数据表示为一个矩阵X和一个向量y:
X = [[1, x11, x12], [1, x21, x22], ..., [1, xn1, xn2]]
y = [y1, y2, ..., yn]
其中,每一行表示一个样本,第一列是1表示截距项,第二列是年龄,第三列是体重。
然后,我们需要求解系数向量a和b,使得男孩和女孩身高的预测值尽可能接近真实值。系数向量a和b可以通过以下公式计算:
a = (XTX)-1XTy
b = (XTX)-1XTy
其中,XT是X的转置,(XTX)-1是XTX的逆矩阵。这个公式可以通过矩阵运算库进行计算。
最后,我们可以使用系数向量a和b来预测一个新样本的男孩和女孩身高。对于一个新样本,我们可以将其表示为一个向量x,然后使用以下公式进行预测:
男孩身高预测值:y1 = a0 + a1x1 + a2x2
女孩身高预测值:y2 = b0 + b1x1 + b2x2
需要注意的是,最小二乘法假设样本之间是独立的,且误差服从正态分布。如果这些假设不成立,最小二乘法可能无法得到良好的结果。