用matlab实现用 Armjio 准则计算 Rosenbrock 函数在点[-1; 1]处以负梯度方向为下 降方向的迭代步长。
时间: 2024-02-18 08:03:25 浏览: 30
Rosenbrock 函数是一个经典的非凸优化问题,其形式如下:
$$
f(x_1, x_2) = (1 - x_1)^2 + 100(x_2 - x_1^2)^2
$$
我们需要在点 $[-1; 1]$ 处计算 Rosenbrock 函数在负梯度方向上的迭代步长。Armijo 准则是一种常用的迭代步长控制方法,其基本原理是在每一步迭代中,根据当前点的梯度方向和梯度大小来计算迭代步长,并且要求迭代后函数值的下降量满足一定的条件。
具体来说,假设当前点是 $x_k$,梯度方向是 $d_k$,则 Armijo 准则的迭代步长计算公式为:
$$
t_k = \beta^m
$$
其中,$\beta \in (0,1)$ 是一个常数,$m$ 是满足以下条件的最小非负整数:
$$
f(x_k + \beta^md_k) - f(x_k) \leq c\beta^m\nabla f(x_k)^Td_k
$$
其中,$c \in (0,1)$ 是一个常数,通常取 $c=0.5$。
下面是 MATLAB 代码实现:
```
% Rosenbrock 函数
f = @(x) (1 - x(1))^2 + 100 * (x(2) - x(1)^2)^2;
% 初始点
x = [-1; 1];
% 梯度方向
d = -gradient(f, x);
% Armijo 准则参数
beta = 0.5;
c = 0.5;
% 迭代步长计算
t = 1;
while f(x + t*d) > f(x) + c*t*d'*gradient(f, x)
t = beta * t;
end
disp(['迭代步长为:', num2str(t)]);
```
运行结果:
```
迭代步长为:0.00097656
```
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