给出基于最小二乘法计算多元线性回归模型的参数(W,b)过程

假设我们有m个样本，n个特征，可以将这m个样本表示为一个m行n+1列的矩阵X，其中第一列全为1，表示截距项。同时，我们有一个m维的目标向量y。

我们的目标是找到一个n+1维的权重向量W和一个偏置b，使得预测值与真实值之间的平均误差最小。我们可以用最小二乘法来求解这个问题。

最小二乘法的思路是，我们要最小化预测值与真实值之间的平方差，即：

$$J(W,b) = \frac{1}{2m}\sum_{i=1}^{m}(h_{W,b}(x^{(i)})-y^{(i)})^2$$

其中，$h_{W,b}(x^{(i)})$表示模型对第i个样本的预测值，即：

$$h_{W,b}(x^{(i)}) = \sum_{j=1}^{n+1}w_j x_j^{(i)}$$

将上式代入目标函数，得到：

$$J(W,b) = \frac{1}{2m}\sum_{i=1}^{m}(\sum_{j=1}^{n+1}w_j x_j^{(i)}-y^{(i)})^2$$

我们的目标是求解W和b，使得目标函数最小。为了达到这个目标，我们需要求解目标函数对W和b的偏导数，即：

$$\frac{\partial J}{\partial w_j}=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(h_{W,b}(x^{(i)})-y^{(i)})x_j^{(i)}$$

$$\frac{\partial J}{\partial b}=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(h_{W,b}(x^{(i)})-y^{(i)})$$

我们可以使用梯度下降法或者正规方程法来求解W和b。这里我们介绍正规方程法。

首先，我们将目标函数对W进行偏导数，并令其等于0，得到：

$$\frac{\partial J}{\partial W}=0$$

将上式代入目标函数，得到：

$$X^TXW=X^Ty$$

其中，$X^T$表示X的转置矩阵。

我们可以使用numpy库中的矩阵操作来求解W和b，代码如下：

import numpy as np

def linear_regression(X, y):
    m, n = X.shape
    X = np.hstack((np.ones((m, 1)), X))
    y = y.reshape(-1, 1)
    W = np.linalg.inv(X.T.dot(X)).dot(X.T).dot(y)
    b = W[0]
    W = W[1:]
    return W, b

这里，我们使用np.hstack函数来将一列全为1的向量添加到X中，以便求解截距项b。然后，我们使用np.linalg.inv函数来求解矩阵的逆，以便求解W。最后，我们返回W和b。

这样，我们就得到了多元线性回归模型的参数W和b。