考虑优化问题 min (x,y)∈R 2 f(x) = (x − 1) 2 + y − 2 s.t. h(x) = y − x − 1 = 0 g(x) = x + y − 2 ≤ 0. 计算满足 KKT 条件的点, 并利用二阶条件验证上述点是否是局部极小值点.
时间: 2024-05-26 12:16:14 浏览: 9
首先,我们写出拉格朗日函数:
$$L(x,y,\lambda,\mu)=f(x) + \lambda h(x) + \mu g(x)$$
其中,$\lambda$ 和 $\mu$ 是拉格朗日乘子。
根据KKT条件,我们有以下方程组:
$$\begin{aligned}
\nabla f(x) + \lambda \nabla h(x) + \mu \nabla g(x) &= 0 \\
h(x) &= 0 \\
g(x) &\leq 0 \\
\mu &\geq 0 \\
\mu g(x) &= 0
\end{aligned}$$
将$f(x)$和$\nabla f(x)$代入上述方程组,得到:
$$\begin{aligned}
2(x-1) + \lambda - \mu &= 0\\
y-x-1 &= 0\\
x+y-2 &\leq 0\\
\mu &\geq 0\\
\mu(x+y-2) &= 0
\end{aligned}$$
根据最后一个方程式,我们可以得到以下两种情况:
- 当$\mu = 0$时,我们有$x+y-2 \leq 0$。由于$h(x) = y-x-1 = 0$,我们可以将$y$用$x$表示为$y=x+1$。将其代入$x+y-2 \leq 0$中得到$x \leq \frac{1}{2}$。因此,我们得到一个可行解$(x,y)=(\frac{1}{2},\frac{3}{2})$。
- 当$x+y-2=0$时,我们有$\mu \geq 0$。将$x+y-2$代入第一个方程式中,得到$2(x-1) + \lambda - \mu = 0$。又因为$h(x) = y-x-1 = 0$,我们可以将$y$用$x$表示为$y=x+1$。将其代入$g(x)$中,得到$x+2 \leq 0$,即$x \leq -2$。因此,我们得到另一个可行解$(x,y)=(-2,-1)$。
接下来,我们需要验证这两个可行解是否满足KKT条件中的最后一个条件$\mu g(x) = 0$。对于$(x,y)=(\frac{1}{2},\frac{3}{2})$,我们有$\mu = 0$,因此$\mu g(x) = 0$成立。对于$(x,y)=(-2,-1)$,我们有$x+y-2=0$,因此$\mu g(x) = \mu (x+y-2) = \mu \cdot 0 = 0$成立。
最后,我们需要验证这两个点是否是局部极小值点。我们计算$f(x)$的二阶导数:
$$\frac{\partial^2 f(x)}{\partial x^2} = 2$$
因此,$f(x)$是凸函数,所以$(x,y)=(\frac{1}{2},\frac{3}{2})$和$(x,y)=(-2,-1)$都是局部极小值点。
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