考虑优化问题 min (x,y)∈R 2 f(x) = (x − 1) 2 + y − 2 s.t. h(x) = y − x − 1 = 0 g(x) = x + y − 2 ≤ 0. 计算满足 KKT 条件的点, 并利用二阶条件验证上述点是否是局部极小值点.
时间: 2024-05-26 08:16:17 浏览: 6
首先,我们列出拉格朗日函数:
$$L(x,y,\lambda_1,\lambda_2)=f(x)+\lambda_1h(x)+\lambda_2g(x)$$
其中,$\lambda_1$和$\lambda_2$是拉格朗日乘子。
对$L$求导数并令其等于零,得到如下系统方程:
$$\begin{cases}
L_x=2(x-1)+\lambda_1+\lambda_2=0\\
L_y=1+\lambda_1+\lambda_2=0\\
L_{\lambda_1}=y-x-1=0\\
L_{\lambda_2}=x+y-2\leqslant0\\
\lambda_2g(x)=0
\end{cases}$$
当$\lambda_2=0$时,我们有$x+y-2=0$,代入$L_x$和$L_y$中,得到$x=1$和$y=1$。
当$\lambda_2<0$时,我们有$g(x)<0$,因此$L_x=0$,即$2(x-1)+\lambda_1=0$。代入$L_y$中,得到$\lambda_1=-\lambda_2-1$。将$\lambda_1$代入$L_x$中,得到$x=1-\frac{\lambda_2+1}{2}$。将$x$和$\lambda_1$代入$L_y$中,得到$y=2-\lambda_2$。
综上所述,满足KKT条件的点为$(1,1)$和$\left(\frac{\lambda_2-1}{2},2-\lambda_2\right)$,其中$\lambda_2<0$。
接下来,我们需要验证这些点是否是局部极小值点。为此,我们需要计算$f(x)$的二阶导数:
$$f''(x)=2$$
由于$f''(x)>0$,因此$(1,1)$和$\left(\frac{\lambda_2-1}{2},2-\lambda_2\right)$都是局部极小值点。