x=(1,1,1,1),y=(2,2,2,2),计算余弦、相关、欧几里得

余弦相似度：
$$
\cos(x,y)=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_iy_i}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_i^2}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}y_i^2}}
$$
代入数据得：
$$
\cos(x,y)=\frac{1\times2+1\times2+1\times2+1\times2}{\sqrt{1^2+1^2+1^2+1^2}\sqrt{2^2+2^2+2^2+2^2}}=\frac{8}{4\sqrt2}=1
$$

相关系数：
$$
r_{xy}=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2}}
$$
代入数据得：
$$
r_{xy}=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2}}=\frac{0}{0\times0}=\text{undefined}
$$

欧几里得距离：
$$
d(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2}
$$
代入数据得：
$$
d(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2}=\sqrt{(1-2)^2+(1-2)^2+(1-2)^2+(1-2)^2}=\sqrt{4}=2
$$