如何计算矩阵中任意两列的协方差

设矩阵$X$的列数为$n$，任意两列为$x_i$和$x_j$，则它们的协方差为：

$$
\begin{aligned}
\operatorname{cov}(x_i,x_j) &= \frac{1}{n-1}\sum_{k=1}^{n}(x_{k,i}-\bar{x_i})(x_{k,j}-\bar{x_j})\\
&=\frac{1}{n-1}[(X-\bar{X})^T(X-\bar{X})]_{i,j}
\end{aligned}
$$

其中，$\bar{x_i}$和$\bar{x_j}$分别为$x_i$和$x_j$的均值，$X$为原矩阵，$\bar{X}$为$X$的每一列的均值组成的列向量。矩阵的转置用符号$^T$表示。

可以看出，计算任意两列的协方差需要先计算出原矩阵每一列的均值，然后再计算出矩阵的协方差矩阵，最后取出所需的协方差值。