将一个矩形平移再旋转，求新矩形与原矩形的关系

假设原矩形的四个顶点坐标分别为$(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3),(x_4,y_4)$，平移向量为$(t_x,t_y)$，旋转角度为$\theta$，则新矩形的四个顶点坐标可以通过以下方法计算得到：

1. 平移：将原矩形的每个顶点坐标都加上平移向量$(t_x,t_y)$，得到新的顶点坐标。

$$
\begin{aligned}
& (x_1',y_1') = (x_1 + t_x, y_1 + t_y) \\
& (x_2',y_2') = (x_2 + t_x, y_2 + t_y) \\
& (x_3',y_3') = (x_3 + t_x, y_3 + t_y) \\
& (x_4',y_4') = (x_4 + t_x, y_4 + t_y)
\end{aligned}
$$

2. 旋转：以原矩形的中心点为旋转中心，对新矩形进行旋转，得到新的顶点坐标。

首先，求出原矩形的中心点坐标$(x_c,y_c)$：

$$
\begin{aligned}
& x_c = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4}{4} \\
& y_c = \frac{y_1 + y_2 + y_3 + y_4}{4}
\end{aligned}
$$

然后，对每个顶点坐标$(x',y')$进行旋转变换：

$$
\begin{aligned}
& x'' = (x' - x_c) \cos \theta - (y' - y_c) \sin \theta + x_c \\
& y'' = (x' - x_c) \sin \theta + (y' - y_c) \cos \theta + y_c
\end{aligned}
$$

最终得到新矩形的四个顶点坐标$(x_1'',y_1''),(x_2'',y_2''),(x_3'',y_3''),(x_4'',y_4'')$。

因此，新矩形与原矩形的关系就是通过平移和旋转得到的。