已知递推数列:a(1)=1,a(2i)=a(i)+1,a(2i+1)=a(i)+a(i+1),(i为正整数),试求该数列的第n项与前n项中哪些项最大?最大值为多少?
时间: 2024-03-25 13:36:42 浏览: 15
根据题目给出的递推式可以构造出部分数列:
```
a(1) = 1
a(2) = 2
a(3) = 2
a(4) = 3
a(5) = 4
a(6) = 3
a(7) = 4
a(8) = 5
a(9) = 4
a(10) = 5
a(11) = 6
a(12) = 5
a(13) = 6
a(14) = 7
a(15) = 6
a(16) = 7
a(17) = 8
a(18) = 7
a(19) = 8
a(20) = 9
...
```
可以发现,当i为2的幂次方时,a(i)的值加1;否则,a(i)的值为a(i/2)+a(i/2+1)。
接下来考虑如何快速求出第n项。可以通过二进制数n的每一位来进行递推。具体地,令k为n的二进制表示中最高位1所在的位数,则有:
- 若n = 2^k,则a(n) = k + 1;
- 若n < 2^k,则a(n) = a(n - 2^(k-1)) + a(2^(k-1))。
因此,可以使用递归的方式求解a(n)。时间复杂度为O(logn)。
关于前n项中哪些项最大,可以使用类似二分的方法,找到一个最小的k,使得2^k大于等于n。然后计算前n项中的所有2^i(i<=k)的值,找到其中最大的一项即可。时间复杂度为O(logn)。
代码实现如下:
相关问题
已知数列递推式为a1=1,a2i=ai+1
这个数列的递推式是a1=1,an=an-1 + 1。根据这个递推式,我们可以得到数列的前几项为:a1=1,a2=2,a3=3,a4=4,a5=5,...。
这个数列的规律很明显,每一项都比前一项大1。所以,数列中每一项的值都是前一项的后继者,也就是它前面所有项的数值总和。因此,我们可以得到数列的通项公式为an=n。
通过递推式分析,我们可以得出数列的通项公式为an=n,其中n表示数列的第n项。也就是说,数列中的每一项都等于它的下标值。根据这个公式,我们可以很方便地求出数列的任意一项的值。
例如,要求数列的第10项的值,根据通项公式an=n,我们可以得到a10=10。同样地,如果要求数列的第100项的值,根据通项公式可以得到a100=100。
总结起来,这个数列的递推式为a1=1,an=an-1 + 1,通项公式为an=n。根据通项公式,我们可以轻松求出数列的任意一项的值。
已知数列递推式为:a1=1,a2,= a :+1,a2i+1= a :+ ai +1,求该数列的第 n 项,以及 前 n 项的最大值。
根据递推式,可以列出数列的前几项:
a1=1
a2=a
a3=a^2+1
a4=a(a^2+1)+1=a^3+a+1
a5=a(a^3+a+1)+1=a^4+a^2+a+1
观察数列的通项公式,可以发现数列的第 n 项为:
an=a^(2^{n-2})+a^(2^{n-3})+...+a^(2^0)+1
前 n 项的最大值为第 n 项,即:
max=a^(2^{n-2})+a^(2^{n-3})+...+a^(2^0)+1
因此,只需要计算出 a^(2^{n-2})+a^(2^{n-3})+...+a^(2^0) 的值即可求出答案。可以使用快速幂算法来计算。时间复杂度为 O(logn)。