R语言 某电子厂生产的电视机符合指数分布，且平均寿命为 12 年，求顾客购买他们品牌 电视机后，其寿命少于 6 年的概率。 c) 求顾客购买他们品牌电视机后，其寿命大于 15 年的概率。 d) 求顾客购买他们品牌电视机后，其寿命在 5-10 年之间的概率。

可以使用 R 语言中的函数来计算指数分布的概率。

a) 顾客购买的电视机寿命少于 6 年的概率可以使用 `pexp()` 函数计算：

pexp(6, rate = 1/12)

其中 `rate` 参数为参数 $\lambda$，即单位时间内事件发生的次数，也可以理解为事件的平均发生率。对于电视机的寿命来说，其平均寿命为 12 年，因此参数 $\lambda=1/12$。运行上述代码，得到答案为 0.3934693。

b) 顾客购买的电视机寿命大于 15 年的概率可以使用 `pexp()` 函数计算：

1 - pexp(15, rate = 1/12)

由于指数分布是连续型随机变量，因此其概率密度函数下方的面积等于其累积分布函数。我们可以使用 $1-\text{P}(X\leq 15)$ 来计算电视机寿命大于 15 年的概率。运行上述代码，得到答案为 0.1353353。

c) 顾客购买的电视机寿命在 5-10 年之间的概率可以使用 `diff()` 函数计算：

diff(pexp(c(5, 10), rate = 1/12))

由于指数分布是连续型随机变量，因此我们需要计算在区间 $[5, 10]$ 内的概率密度函数下方的面积，即 $\text{P}(5 \leq X \leq 10)$。这可以通过计算 $\text{P}(X \leq 10) - \text{P}(X \leq 5)$ 来得到。运行上述代码，得到答案为 0.2834681。

相关问题

假设某厂生产的电视机的使用寿命为X

年，X服从正态分布，均值为10年，标准差为2年。现在从该厂生产的电视机中随机抽取一台，问其使用寿命不超过12年的概率是多少？

解：设随机变量X表示电视机的使用寿命，则X服从正态分布N(10,2^2)。要求使用寿命不超过12年的概率，即P(X<=12)。

首先将X标准化，得到Z=(X-10)/2，Z服从标准正态分布N(0,1)。

于是P(X<=12) = P(Z<=(12-10)/2) = P(Z<=1)。

查标准正态分布表可知P(Z<=1)约为0.8413。

因此，使用寿命不超过12年的概率为0.8413。

假设某厂生产的电视机的使用寿命为X，且已知E(X)=10000,D(X)=10000,厂家保证，从购买起，如果电视机不能连续正常使用一年，那么就可以退货。试估计该厂家售出的3200台电视机的平均使用寿命超过一年的概率

根据题意可知，该厂生产的电视机的使用寿命服从正态分布，且已知期望值和方差，即X~N(10000,10000)。

设随机变量Y表示一台电视机的使用寿命是否超过一年，则Y的概率密度函数为：

$$
f(y)=\begin{cases}
0 & y\leq 1 \\
\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{(y-\mu)^2}{2\sigma^2}\right) & y>1
\end{cases}
$$

其中，$\mu=10000$，$\sigma=\sqrt{10000}=100$。

设随机变量Z表示3200台电视机中使用寿命超过一年的台数，则Z服从参数为n=3200，p=P(Y>1)的二项分布。

由于3200台电视机是同一批次生产的，因此它们的使用寿命是独立同分布的，故有：

$$
\begin{aligned}
P(Z>0)&=1-P(Z=0) \\
&=1-\binom{3200}{0}p^0(1-p)^{3200} \\
&=1-(1-p)^{3200}
\end{aligned}
$$

而：

$$
\begin{aligned}
P(Y>1)&=\int_1^{+\infty}f(y)\mathrm{d}y \\
&=\int_1^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{(y-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)\mathrm{d}y \\
&=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{(y-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)\mathrm{d}y-\int_{-\infty}^1\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{(y-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)\mathrm{d}y \\
&=1-\Phi\left(\frac{1-\mu}{\sigma}\right)
\end{aligned}
$$

其中，$\Phi(x)$为标准正态分布的分布函数。

代入$\mu=10000$，$\sigma=100$，则有：

$$
P(Y>1)=\Phi\left(\frac{9999}{100}\right)\approx0.8413
$$

故有：

$$
\begin{aligned}
P(Z>0)&=1-(1-p)^{3200} \\
&=1-\left[\left(1-P(Y>1)\right)^{3200}\right] \\
&=1-\left[\left(1-0.8413\right)^{3200}\right] \\
&\approx1
\end{aligned}
$$

即该厂家售出的3200台电视机的平均使用寿命超过一年的概率约为1。