二元线性回归方程系数计算

对于二元线性回归方程 $y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + \epsilon$，其中 $y$ 是因变量，$x_1$ 和 $x_2$ 是自变量，$\beta_0$ 是截距，$\beta_1$ 和 $\beta_2$ 是两个自变量的系数，$\epsilon$ 是误差项。

系数 $\beta_0$，$\beta_1$ 和 $\beta_2$ 可以通过最小二乘法来计算。最小二乘法的思想是找到一组系数，使得预测值与实际值之间的误差平方和最小。

具体来说，对于给定的样本 $(x_{1i},x_{2i},y_i)$，可以计算出它的预测值 $\hat{y_i} = \beta_0 + \beta_1 x_{1i} + \beta_2 x_{2i}$。误差项为 $e_i = y_i - \hat{y_i}$。那么所有样本的误差平方和可以表示为：

$$
\sum_{i=1}^{n} e_i^2 = \sum_{i=1}^{n} (y_i - \beta_0 - \beta_1 x_{1i} - \beta_2 x_{2i})^2
$$

为了使得误差平方和最小，需要对上式进行求导，然后令导数为零：

$$
\frac{\partial}{\partial \beta_0} \sum_{i=1}^{n} e_i^2 = -2 \sum_{i=1}^{n} (y_i - \beta_0 - \beta_1 x_{1i} - \beta_2 x_{2i}) = 0
$$

$$
\frac{\partial}{\partial \beta_1} \sum_{i=1}^{n} e_i^2 = -2 \sum_{i=1}^{n} x_{1i} (y_i - \beta_0 - \beta_1 x_{1i} - \beta_2 x_{2i}) = 0
$$

$$
\frac{\partial}{\partial \beta_2} \sum_{i=1}^{n} e_i^2 = -2 \sum_{i=1}^{n} x_{2i} (y_i - \beta_0 - \beta_1 x_{1i} - \beta_2 x_{2i}) = 0
$$

解上述方程组，可以得到 $\beta_0$，$\beta_1$ 和 $\beta_2$ 的值。

需要注意的是，如果样本中自变量之间存在多重共线性，那么上述求解方法可能会出现问题。此时需要采用其他的回归方法来解决问题。